【題目】如圖，已知拋物線焦點(diǎn)為，過上一點(diǎn)作切線，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交于點(diǎn).

（1）證明：；

（2）設(shè)直線，的斜率為，的面積為，若，求的最小值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）設(shè)過點(diǎn)與相切的切線，與拋物線聯(lián)立，利用可得，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得答案；

（2）利用（1）的結(jié)果可得，代入，可得與的關(guān)系，再利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式求出和點(diǎn)到的距離，則可表示出，利用換元法和求導(dǎo)求其最小值.

（1）設(shè)過點(diǎn)與相切的切線，

聯(lián)立，消去得，

由，

則，則，

因?yàn)橹本�的斜率不為0，

設(shè)直線，聯(lián)立方程得，

故；

（2）由（1）得，則

整理得，即，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在軸上方，必有，與矛盾

所以必有，則，

則

故，

則，

點(diǎn)到的距離，

，

，令，

則，

令，則

則對(duì)于函數(shù)，

則，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，

，

，

故的最小值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，函數(shù).

（Ⅰ）判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】斐波那契數(shù)列滿足： .若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長(zhǎng)為1，記前項(xiàng)所占的格子的面積之和為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（a或t為參數(shù)）.以O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθsinθ）＝1.

（1）當(dāng)t為參數(shù)，α時(shí)，判斷曲線C與直線l的位置關(guān)系；

（2）當(dāng)α為參數(shù)，t＝2時(shí)，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P（1，0），求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，已知和都在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：()的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)滿足：，且.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)的直線l與C交于，不同的兩點(diǎn)，且，問在x軸上是否存在定點(diǎn)N，使得直線，與y軸圍成的三角形始終為底邊在y軸上的等腰三角形.若存在，求定點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求函數(shù)在上的極值；

（3）設(shè)函數(shù)，若，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著生活節(jié)奏的加快以及智能手機(jī)的普及，外賣點(diǎn)餐逐漸成為越來越多用戶的餐飲消費(fèi)習(xí)慣，由此催生了一批外賣點(diǎn)餐平臺(tái)．已知某外賣平臺(tái)的送餐費(fèi)用與送餐距離有關(guān)（該平臺(tái)只給5千米范圍內(nèi)配送），為調(diào)査送餐員的送餐收入，現(xiàn)從該平臺(tái)隨機(jī)抽取100名點(diǎn)外賣的用戶進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按送餐距離分類統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：

送餐距離（千米）

（0，1]

（1，2]

（2，3]

（3，4]

（4，5]

頻數(shù)

15

25

25

20

15

以這100名用戶送餐距離位于各區(qū)間的頻率代替送餐距離位于該區(qū)間的概率．

（1）若某送餐員一天送餐的總距離為100千米，試估計(jì)該送餐員一天的送餐份數(shù)；（四舍五入精確到整數(shù)，且同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．

（2）若該外賣平臺(tái)給送餐員的送餐費(fèi)用與送餐距離有關(guān)，規(guī)定2千米內(nèi)為短距離，每份3元，2千米到4千米為中距離，每份7元，超過4千米為遠(yuǎn)距離，每份12元．記X為送餐員送一份外賣的收入（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱柱中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)等于2的菱形，，平面ABCD，O，E分別是，AB的中點(diǎn)，AC交DE于點(diǎn)H，點(diǎn)F為HC的中點(diǎn)

（1）求證：平面；

（2）若OF與平面ABCD所成的角為60°，求三棱錐的表面積.

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