Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求證：在上有極大值；

（2）求證：有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，令，求出，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而證明在上有極大值；

（2）分三種情況討論來(lái)說(shuō)明在各個(gè)區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù).當(dāng)時(shí)，由（1）可證明在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明在區(qū)間上恒成立，從而證明在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，設(shè)，同理可證得在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，綜上可證明有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

（1）設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減.

又因?yàn)?/span>，，

所以在上有唯一的零點(diǎn)，使.

所以當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，，即，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，

故在上有極大值；

（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

所以在上存在唯一的極大值點(diǎn)，

所以.

又因?yàn)?/span>，

所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>，所以在上也恰有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，，

所以在上單調(diào)遞減，所以，

所以當(dāng)時(shí)，恒成立，

所以在上沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，

所以在上單調(diào)遞減，所以，

所以當(dāng)時(shí)，恒成立，

所以在上沒(méi)有零點(diǎn)，

綜上，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).