【題目】如圖,在四棱錐中, 平面平面,.
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在, 求的值;若不存在, 說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)存在,.
【解析】試題分析:(Ⅰ)由面面垂直的性質(zhì)定理知AB⊥平面,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知,再由線面垂直的判定定理可知平面;(Ⅱ)取的中點(diǎn),連結(jié),以O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,利用向量法可求出直線PB與平面PCD所成角的正弦值;(Ⅲ)假設(shè)存在,根據(jù)A,P,M三點(diǎn)共線,設(shè),根據(jù)BM∥平面PCD,即(為平面PCD的法向量),求出的值,從而求出的值.
試題解析:(Ⅰ)因?yàn)槠矫?/span>平面,,
所以平面.
所以.
又因?yàn)?/span>,
所以平面.
(Ⅱ)取的中點(diǎn),連結(jié).
因?yàn)?/span>,所以.
又因?yàn)?/span>平面,平面平面,
所以平面.
因?yàn)?/span>平面,所以.
因?yàn)?/span>,所以.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系.由題意得,
.
設(shè)平面的法向量為,則
即
令,則.
所以.
又,所以.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
(Ⅲ)設(shè)是棱上一點(diǎn),則存在使得.
因此點(diǎn).
因?yàn)?/span>平面,所以平面當(dāng)且僅當(dāng),
即,解得.
所以在棱上存在點(diǎn)使得平面,此時(shí).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城鎮(zhèn)社區(qū)為了豐富轄區(qū)內(nèi)廣大居民的業(yè)余文化生活,創(chuàng)建了社區(qū)“文化丹青”大型活動(dòng)場(chǎng)所,配備了各種文化娛樂活動(dòng)所需要的設(shè)施,讓廣大居民健康生活、積極向上,社區(qū)最近四年內(nèi)在“文化丹青”上的投資金額統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表: (為了便于計(jì)算,把2015年簡(jiǎn)記為5,其余以此類推)
年份(年) | 5 | 6 | 7 | 8 |
投資金額(萬元) | 15 | 17 | 21 | 27 |
(Ⅰ)利用所給數(shù)據(jù),求出投資金額與年份之間的回歸直線方程;
(Ⅱ) 預(yù)測(cè)該社區(qū)在2019年在“文化丹青”上的投資金額.
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù), 其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),B(0,2),且圓心在直線y=x上,又直線l:y=kx+1與圓相交于P、Q兩點(diǎn).
(1)求圓的方程;
(2)若,求實(shí)數(shù)k的值;
(3)過點(diǎn)作動(dòng)直線交圓于,兩點(diǎn).試問:在以為直徑的所有圓中,是否存在這樣的圓,使得圓經(jīng)過點(diǎn)?若存在,求出圓的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx.
(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若對(duì)所有x≥1都有f(x)≥ax﹣1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量,,函數(shù)的最小值為
(1)當(dāng)時(shí),求的值;
(2)求;
(3)已知函數(shù)為定義在R上的增函數(shù),且對(duì)任意的都滿足
問:是否存在這樣的實(shí)數(shù)m,使不等式 +對(duì)所有
恒成立,若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班同學(xué)利用春節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐,對(duì)本地歲的人群隨機(jī)抽取人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查,將生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”,否則稱為“非低碳族”,得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖。
(一)人數(shù)統(tǒng)計(jì)表: (二)各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖:
(Ⅰ)在答題卡給定的坐標(biāo)系中補(bǔ)全頻率分布直方圖,并求出、、的值;
(Ⅱ)從歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取人參加戶外低碳體驗(yàn)活動(dòng)。若將這個(gè)人通過抽簽分成甲、乙兩組,每組的人數(shù)相同,求歲中被抽取的人恰好又分在同一組的概率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,左頂點(diǎn)為
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于(不同于點(diǎn)的)兩點(diǎn).試判斷直線與軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方形ABCD一邊CD所在直線的方程為x+3y-13=0,對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn)為P(1,5),求正方形ABCD其他三邊所在直線的方程.
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