Question

如果函數(shù)滿足在集合上的值域仍是集合，則把函數(shù)稱為N函數(shù).
例如：就是N函數(shù).
（Ⅰ）判斷下列函數(shù)：①，②，③中，哪些是N函數(shù)？（只需寫出判斷結果）；
（Ⅱ）判斷函數(shù)是否為N函數(shù)，并證明你的結論；
（Ⅲ）證明：對于任意實數(shù)，函數(shù)都不是N函數(shù).
（注：“”表示不超過的最大整數(shù)）

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）是N函數(shù)；（Ⅲ）略

試題分析：（Ⅰ）的定義域為時，值域不是集合，例如值域中不含2。故不是N函數(shù) 。的定義域為時，值域不是集合，例如值域中不含2。故不是N函數(shù)。當時，所以是N函數(shù)。（Ⅱ）因為“”表示不超過的最大整數(shù)，所以。設，則，所以，解得，因為所以在一定存在正整數(shù)，即存在滿足（Ⅲ）需對實數(shù)在全體實數(shù)范圍內進行討論。若為負時，函數(shù)不是N函數(shù)；若函數(shù)有最大值時，函數(shù)不是N函數(shù)；若函數(shù)的值是正數(shù)但不能取到所有正數(shù)時，函數(shù)不是N函數(shù)。
試題解析：解：（Ⅰ）只有是N函數(shù).                   3分
（Ⅱ）函數(shù)是N函數(shù).
證明如下：
顯然，，.                 4分
不妨設,
由可得，
即.
因為，恒有成立，
所以一定存在，滿足，
所以設，總存在滿足，
所以函數(shù)是N函數(shù).                    8分
（Ⅲ）（1）當時，有，
所以函數(shù)都不是N函數(shù).                 9分
（2）當時，① 若，有，
所以函數(shù)都不是N函數(shù).       10分
② 若，由指數(shù)函數(shù)性質易得，
所以，都有
所以函數(shù)都不是N函數(shù).        11分
③ 若，令，則，
所以一定存在正整數(shù)使得 ，
所以，使得，
所以.
又因為當時，,所以；
當時，,所以，
所以，都有，
所以函數(shù)都不是N函數(shù).      13分
綜上所述，對于任意實數(shù)，函數(shù)都不是N函數(shù).