Question

已知函數（a為常數）在x=1處的切線的斜率為1．
(1)求實數a的值，并求函數的單調區(qū)間，
(2)若不等式≥k在區(qū)間上恒成立，其中e為自然對數的底數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

(1)的單調遞增區(qū)間是，的單調遞減區(qū)間是;(2).

試題分析：(1)先求，利用在處的導數就是此點處切線斜率，即，算出a,然后確定函數的定義域，利用的區(qū)間為函數的增區(qū)間，的區(qū)間為函數的減區(qū)間；(2)將不等式恒成立轉化成，利用(1)在的單調性，判斷出在上的最小值為或，所以分別求出和,然后比較得出最小值.即，此題考察利用導數研究函數性質，邏輯推理要嚴謹，此題屬于中檔題.
試題解析：(1)
由題知：即，解得，.
，定義域
，由，得，
當時，，此時，，在上單調遞減.
當時，，此時，，在上單調遞增.
綜上：的單調遞增區(qū)間是，的單調遞減區(qū)間是.
(2)由(1)知在上單調遞增，在上單調遞減.
在上的最小值為或
又，且
在上的最小值為
若在上恒成立，則