(本小題滿分10分) 如圖,已知橢圓
C:
,經(jīng)過橢圓
的右焦點F且斜率為
的直線
l交橢圓
C于A、B兩點,M為線段AB的中點,設(shè)O為橢圓的中心,射線OM交橢圓于N點.(I)是否存在
,使對任意
,總有
成立?若存在,求出所有
的值;
(II)若
,求實數(shù)
的取值范圍.
(1)
(2)
且
k≠0
解:(1)橢圓
C:
直線
AB:
y=
k(
x-m),
,(10
k2+6)
x2-20
k2mx+10
k2m2-15m
2=0.
設(shè)
A(
x1,
y1)、
B(
x2,
y2),則
x1+
x2=
,
x1x2=
則
xm=
若存在
,使
為
ON的中點,∴
.
∴
,
即N點坐標為
.
由N點在橢圓上,則
即5
k4-2
k2-3=0.∴
或
(舍).
故存在
,使
.··········5分
(2)
=
x1x2+
k2(
x1-m)(
x2-
m)
=(1+
k2)
x1x2-
k2m(
x1+
x2)+
k2m
2=(1+
k2)·
由
得
即
k2-15≤-20
k2-12,
且
k≠0.··········10分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)斜率為
的直線
交橢圓
:
于
兩點,點
為弦
的中點,直線
的斜率為
(其中
為坐標原點,假設(shè)
、
都存在).
(1)求
×
的值.
(2)把上述橢圓
一般化為
(
>
>0),其它條件不變,試猜想
與
關(guān)系(不需要證明).請你給出在雙曲線
(
>0,
>0)中相類似的結(jié)論,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(12分)橢圓C:
的兩個焦點分別為
,
是橢圓上一點,且滿足
。
(1)求離心率e的取值范圍;
(2)當離心率e取得最小值時,點N( 0 , 3 )到橢圓上的點的最遠距離為
。
(i)求此時橢圓C的方程;
(ii)設(shè)斜率為
的直線
l與橢圓C相交于不同的兩點A、B,Q為AB的中點,問A、B兩點能否關(guān)于過點P(0,
)、Q的直線對稱?若能,求出
的取值范圍;若不能,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
橢圓的長軸長是短軸長的兩倍,那么這個橢圓的離心率為 ( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
若直線
與曲線
只有一個公共點,則m的取值范圍是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分15分)已知橢圓
的離心率為
,過
的直線與原點的距離為
(1)求橢圓的方程;
(2)已知定點
,直線
與橢圓交于不同兩點C,D,試問:對任意的
,是否都存在實數(shù)
,使得以線段CD為直徑的圓過點E?證明你的結(jié)論
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
如果橢圓的兩個頂點為(3,0),(0,-4),則其標準方程為( )
(
A)
(
B)
(
C)
(
D)
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