Question

已知F₁、F₂是橢圓的左、右焦點，A是橢圓上位于第一象限內的一點，點B與點A關于原點對稱，AF₂-F₁F₂=0，若橢圓的離心率等于
（Ⅰ）求直線AB的方程；
（Ⅱ）若△ABF₂的面積等于4，求橢圓的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，橢圓上是否存在點M使得△MA的面積等于8？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可知AF₂⊥F₁F₂，根據橢圓離心率可設橢圓方程可以寫成x²+2y²=a²，再將A（c，y_A），代入方程得y_A=a，求出A的坐標，從而得出直線AB的斜率進而得到直線AB的方程；
（Ⅱ）連接AF₁、BF₁，由橢圓的對稱性可知S_△AEF1=S_△ABF1=S_△AF1F2，據此求出a，b的值，從而得到橢圓方程；
（Ⅲ）對于存在性問題，可先假設存在，即假設在橢圓上存在點M使得△MAB的面積等于8，再利用點到直線AB的距離公式，求出點M到直線AB的距離d，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（Ⅰ）由知AF₂⊥F₁F₂
∵橢圓離心率等于，所以c=a，b²=a²，故橢圓方程可以寫成x²+2y²=a²，
設A（c，y_A），代入方程得y_A=a，所以A（a，a），
故直線AB的斜率k=，因此直線AB的方程為y=（4分）
（Ⅱ）連接AF₁、BF₁，由橢圓的對稱性可知S_△AEF1=S_△ABF1=S_△AF1F2，
所以故橢圓方程為（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可以求得|AB|=2|OA|=2=4
假設在橢圓上存在點M使得△MAB的面積等于8，設點M到直線AB的距離為d，則應有，所以d=4
設M所在直線方程為x-2y±4=0與橢圓方程聯立消去x得方程4y²±8y+32=0
即y²±2y+8=0，∵△=（±2）²-4×8＜0故在橢圓上不存在點M使得△MAB的面積等于8（14分）
點評：本小題主要直線與圓錐曲線的綜合問題、橢圓方程等基礎知識，當直線與圓錐曲線相交時，涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式）．