Question

如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，圓是以為直徑的圓．
（1）若圓過(guò)原點(diǎn)，求圓的方程； 
（2）寫(xiě)出一個(gè)定圓的方程，使得無(wú)論點(diǎn)在橢圓的什么位置，該定圓總與圓相切,請(qǐng)寫(xiě)出你的探究過(guò)程．

Answer 1

（1）或；（2）.

試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824052950002421.png" style="vertical-align:middle;" />是圓的直徑，所以當(dāng)圓過(guò)原點(diǎn)時(shí)，一定有，由此可確定點(diǎn)的位置并進(jìn)一步求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)圓M的半徑為,連結(jié)，顯然有
根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知,
所以，從而找到符合條件的定圓.
解：（1）解法一：因?yàn)閳A過(guò)原點(diǎn)，所以，所以是橢圓的短軸頂點(diǎn)，的坐標(biāo)是或，于是點(diǎn)的坐標(biāo)為或，       
易求圓的半徑為
所以圓的方程為或       6分
解法二：設(shè)，因?yàn)閳A過(guò)原點(diǎn)，所以
所以，所以，所以點(diǎn)
于是點(diǎn)的坐標(biāo)為或，易求圓的半徑
所以圓的方程為或        6分
（2）以原點(diǎn)為圓心，5為半徑的定圓始終與圓相內(nèi)切，定圓的方程為     8分
探究過(guò)程為：設(shè)圓的半徑為，定圓的半徑為，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/201408240529508601740.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以當(dāng)原點(diǎn)為定圓圓心，半徑時(shí)，定圓始終與圓相內(nèi)切．  （13分）