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已知正四面體A—BCD，有一只小蟲自頂點A沿每一條棱以等可能的概率爬到另外三個頂點B、C、D，然后又從B、C、D中的一個頂點沿每一條棱以等可能的概率爬到其他三個頂點，依次進行下去，記Pn為第n次爬到頂點A的概率.

(1)求Pn的通項公式；

(2)求第2 007次爬到A的概率.

解：(1)由于第n次到頂點A是從B、C、D三個頂點爬行而來，從其中任何一個頂點到達A的概率都是，而第n-1次在頂點A與小蟲在B、C、D是對立事件.因此，第n次到頂點A的概率為Pn=(1-Pn-1),即Pn(Pn-1).                                 

∵P1=1，∴{Pn}是以P1為首項，公比為的等比數列，

∴Pn=(n≥2,n∈N).

(2)第2 007次爬行到頂點A的概率：P2 007=.

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已知正四面體ABCD中，M、N分別是BC和AD中點，則異面直線AM和CN所成的角的正切值為（　�。�

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如圖，已知正四面體ABCD的棱長為3cm．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）已知點E是CD的中點，點P在△ABC的內部及邊界上運動，且滿足EP∥平面ABD，試求點P的軌跡；
（3）有一個小蟲從點A開始按以下規(guī)則前進：在每一個頂點處等可能地選擇通過這個頂點的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，當它爬了12cm之后，求恰好回到A點的概率．

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A．
B．
C．
D．

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已知正四面體ABCD中，M、N分別是BC和AD中點，則異面直線AM和CN所成的角的正切值為（ ）

A．
B．
C．
D．

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科目：高中數學 來源：2011年江蘇省南京師大附中高考數學四模試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知正四面體ABCD的棱長為3cm．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）已知點E是CD的中點，點P在△ABC的內部及邊界上運動，且滿足EP∥平面ABD，試求點P的軌跡；
（3）有一個小蟲從點A開始按以下規(guī)則前進：在每一個頂點處等可能地選擇通過這個頂點的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，當它爬了12cm之后，求恰好回到A點的概率．

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