Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

a

x

．（a∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若a=-

2

，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（I）由f′（x）=

x+a

x2

，分別討論①a≥0時，②a＜0時的情況，從而求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）a=-

2

時，f′（x）=

x- 2

x2

，f（x）在（1，

2

）遞減，在（

2

，e）遞增，從而得出f（x）_min=f（

2

）=ln（

2

）+1=

1

2

ln2+1．

解答： 解：（I）∵f′（x）=

x+a

x2

，
①a≥0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，
②a＜0時，令f′（x）＞0，解得：x＞-a，
∴f（x）在（-a，+∞）遞增，
（Ⅱ）a=-

2

時，f′（x）=

x- 2

x2

，
f（x）在（1，

2

）遞減，在（

2

，e）遞增，
∴f（x）_min=f（

2

）=ln（

2

）+1=

1

2

ln2+1．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．