Question

已知S_n是首項(xiàng)不為零的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₁+a₂=a₃，a₁a₂=a₆．
（1）求a_n和S_n；
（2）求證：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

2

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a_n和S_n．
（2）由

1

Sn

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂項(xiàng)求和法能證明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

（1-

1

n+1

）＜

2

3

．

解答： （1）解：設(shè){a_n}的公差為d，
由已知得

2a1+d=a1+2d a1(a1+d)=a1+5d

，
解得a₁=d=3，
∴a_n=3+（n-1）×3=3n．
S_n=3n+

n(n-1)

2

×3=

3

2

n(n+1)．
（2）

1

Sn

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

2

3

（1-

1

n+1

）＜

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．