Question

如圖1,在等腰直角三角形中,,,分別是上的點(diǎn),,

為的中點(diǎn).將沿折起,得到如圖2所示的四棱錐,其中.

(Ⅰ) 證明:平面；

(Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)見解析 (Ⅱ)

【解析】(Ⅰ) 在圖1中,易得

連結(jié),在中,由余弦定理可得

由翻折不變性可知,

所以,所以,

理可證, 又,所以平面.

(Ⅱ) 傳統(tǒng)法:過作交的延長線于,連結(jié),

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081613345620838600/SYS201308161335539234270003_DA.files/image011.png">平面,所以,

所以為二面角的平面角.

結(jié)合圖1可知,為中點(diǎn),故,從而

所以,所以二面角的平面角的余弦值為.

向量法:以點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則,,

所以,

設(shè)為平面的法向量,則

,即,解得,令,得

由(Ⅰ) 知,為平面的一個(gè)法向量,

所以,即二面角的平面角的余弦值為.

解決折疊問題，需注意一下兩點(diǎn)：1.一定要關(guān)注“變量”和“不變量”在證明和計(jì)算中的應(yīng)用:折疊時(shí)位于棱同側(cè)的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系不變;位于棱兩側(cè)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系變；2.折前折后的圖形結(jié)合起來使用.如本題第一問，關(guān)鍵是由翻折不變性可知,借助勾股定理進(jìn)行證明垂直關(guān)系；（2）利用三垂線定理法或者空間向量法求解二面角. 求二面角：關(guān)鍵是作出或找出其平面角，常用做法是利用三垂線定理定角法，先找到一個(gè)半平面的垂線，然后過垂足作二面角棱的垂線，再連接第三邊，即可得到平面角。若考慮用向量來求：要求出二個(gè)面的法向量，然后轉(zhuǎn)化為,要注意兩個(gè)法向量的夾角與二面角可能相等也可能互補(bǔ)，要從圖上判斷一下二面角是銳二面角還是鈍二面角，然后根據(jù)余弦值確定相等或互補(bǔ)即可。

【考點(diǎn)定位】考查折疊問題和二面角的求解，考查空間想象能力和計(jì)算能力.