選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線l的參數(shù)方程為
x=1-t
y=2+
3
t
（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為
x=4cosθ
y=3sinθ
（θ為參數(shù)），直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）．
求：（1）線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）線段AB的長(zhǎng)；
（3）|PA-PB|的值．
分析：先將直線的參數(shù)方程化為
x=a+cosαl
y=b+sinαl
（l為參數(shù)）的形式，此時(shí)，|l|的幾何意義為（a，b）點(diǎn)到（x，y）的距離，（1）設(shè)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的參數(shù)為l1，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為l2，將直線的參數(shù)方程代入曲線，利用韋達(dá)定理即可得l1+l2，而
l1+l2
2
即為AB中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，代入?yún)?shù)方程可得中點(diǎn)坐標(biāo)；（2）AB的長(zhǎng)度即為AB參數(shù)差的絕對(duì)值，利用韋達(dá)定理代入求值即可；因?yàn)辄c(diǎn)P（1，2）在直線
x=1-
1
2
l
y=2+
3
2
l
上，且點(diǎn)P在橢圓內(nèi)，故A、B兩點(diǎn)分布在點(diǎn)P兩側(cè)，即l1與l2異號(hào)，所以|PA-PB|的值即為l1+l2的絕對(duì)值，代入求值即可
解答：解：由題意可知，直線l的斜率為-
3
，傾斜角為
2π
3

∴直線l的參數(shù)方程可改寫為
x=1-
1
2
l
y=2+
3
2
l
（l為參數(shù)，|l|的幾何意義為（1，2）點(diǎn)到（x，y）的距離），
曲線C的普通方程為
x2
16
+
y2
9
=1，
將直線方程代入曲線C的方程可得，
57
4
l2+(32
3
-9)l-71=0，
設(shè)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的參數(shù)為l1，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為l2，
∵△＞0，∴l1+l2=-
4(32
3
-9)
57
，l1l2=-
284
57
，
由參數(shù)l的幾何意義得
（1）中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為l=
l1+l2
2
=
18-64
3
57
，代入直線參數(shù)方程得
x=1-
1
2
×
18-64
3
57
=
48+32
3
57
y=2+
3
2
×
18-64
3
57
=
6+3
3
19

∴線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(
48+32
3
57
，
6+3
3
19
)；
（2）弦AB的長(zhǎng)為AB=|l1-l2|=
(l1+l2)2-4l1l2
=
( -
4(32
3
-9)
57
)2-4× (-
284
57
) 
=
16
19
50-4
3
；
（3）∵點(diǎn)P（1，2）在直線
x=1-
1
2
l
y=2+
3
2
l
上，且點(diǎn)P在橢圓內(nèi)，故A、B兩點(diǎn)分布在點(diǎn)P兩側(cè)，即l1與l2異號(hào)

∴|PA-PB|=||l1|-|l2||=|l1+l2|=
4(32
3
-9)
57
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的參數(shù)方程，參數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，橢圓的參數(shù)方程及其與一般方程的互化，韋達(dá)定理在解決解析幾何問題中的重要應(yīng)用
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為
x=
1
2
t
y=
2
2
+
3
2
t
（t為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系xoy 的O點(diǎn)為極點(diǎn)，Ox為極軸，且長(zhǎng)度單位相同，建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos（θ-
π
4
）．直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

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A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線與BC
交于點(diǎn)D．求證：ED2=EB•EC．
B．選修4-2：矩陣與變換
求矩陣M=
-14
26
的特征值和特征向量．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是ρcos(θ+
π
4
)=
3
2
2
和ρsin2θ=4cosθ，直線l與曲線C交于點(diǎn)．A，B，C，求線段AB的長(zhǎng)．
D．選修4-5：不等式選講
對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．

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（2013•遼寧）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xoy中以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系．圓C1，直線C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4sinθ，ρcos（θ-
π
4
）=2
2
．
（Ⅰ）求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn)，已知直線PQ的參數(shù)方程為
x=t3+a
y=
b
2
t3+1
（t∈R為參數(shù)），求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

選修4-4：
坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系x0y中，曲線C1為x=acosφ，y=sinφ（1＜a＜6，φ為參數(shù)）．
在以0為原點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，曲線C2的方程為ρ=6cosθ，射線ι為θ=α，ι與C1的交點(diǎn)為A，ι與C2除極點(diǎn)外的一個(gè)交點(diǎn)為B．當(dāng)α=0時(shí)，|AB|=4．
（1）求C1，C2的直角坐標(biāo)方程；
（2）若過點(diǎn)P（1，0）且斜率為
3
的直線m與曲線C1交于D、E兩點(diǎn)，求|PD|與|PE|差的絕對(duì)值．

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在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c1的參數(shù)方程為：
x=2cosθ
y=2sinθ
（θ為參數(shù)），把曲線c1上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的一半得到曲線c2，以O(shè)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為
2
ρcos(θ-
π
4
)=4．
（1）求曲線c2的普通方程，并指明曲線類型；
（2）過（1，0）點(diǎn)與l垂直的直線l1與曲線c2相交與A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)．

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