Question

【題目】已知函數(shù)，.

若恒成立，求的取值范圍；

已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：構(gòu)造，求導(dǎo)，算單調(diào)性，取最值情況法一：聯(lián)立方程組求解轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)，求導(dǎo)證明結(jié)論；法二：要證，只需證，由單調(diào)性只需證，令證明結(jié)論

解析：令，有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得最大值，為，

若恒成立，則即.

方法一：，，

，

即

，

欲證：，只需證明，只需證明，

只需證明.

設(shè)，則只需證明，

即證：.

設(shè)，，

在單調(diào)遞減，，

，所以原不等式成立.

方法二：由（1）可知，若函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn)，有，則，且，

要證，只需證，由于在上單調(diào)遞減，從而只需證，由，

只需證，

又，

即證

即證，.

令，，

有在上單調(diào)遞增，，.

所以原不等式成立.