在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點(diǎn)，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示)．若R、R′分別在線段0F、CF上，且.

(Ⅰ)求證：直線ER與GR′的交點(diǎn)P在橢圓：+=1上；
(Ⅱ)若M、N為橢圓上的兩點(diǎn)，且直線GM與直線GN的斜率之積為，求證：直線MN過定點(diǎn).

詳見解析；直線MN過定點(diǎn)(0,-3).

解析試題分析：先計(jì)算出E、R、G、R′各點(diǎn)坐標(biāo)，得出直線ER與GR′的方程，解得其交點(diǎn)坐標(biāo) 代入滿足橢圓方程即可; 先討論直線MN的斜率不存在時(shí)的情況，在討論斜率存在時(shí)，用斜截式設(shè)出直線MN方程.與橢圓方程聯(lián)立，用“設(shè)而不求”的方法通過韋達(dá)定理得出b為定值-3.從而證明出MN過定點(diǎn)（0，-3）.
試題解析：（Ⅰ）∵，∴，             1分
又  則直線的方程為       ①         2分
又 則直線的方程為          ②         3分
由①②得                                       4分
   
   5分
∴直線與的交點(diǎn)在橢圓上  6分
（Ⅱ）① 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)
則  ∴ ,不合題意     8分
② 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè) 

聯(lián)立方程 得
則 ，
   10分
又
即
將代入上式得      13分
∴直線過定點(diǎn)                                       14分
考點(diǎn)：1.直線的方程；2.解析幾何；3.韋達(dá)定理.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：，離心率為，焦點(diǎn)過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的周長為4.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ) 直線與y軸交于點(diǎn)P(0,m)(m0),與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A,B且.若,求m的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:  (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)都在圓上.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若斜率為k的直線過點(diǎn)M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn).試探討k為何值時(shí),三角形OAB為直角三角形.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知為拋物線的焦點(diǎn)，拋物線上點(diǎn)滿足

（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)，過點(diǎn)F作斜率為的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不為，連結(jié)、并延長交拋物線于、兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為,問是否為定值，若是求出該定值，若不是說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓C：的半徑等于橢圓E：（a＞b＞0）的短半軸長，橢圓E的右焦點(diǎn)F在圓C內(nèi)，且到直線l：y＝x－的距離為－，點(diǎn)M是直線l與圓C的公共點(diǎn)，設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求證：｜AF｜－｜BF｜＝｜BM｜－｜AM｜．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，設(shè)AB，CD為⊙O的兩直徑，過B作PB垂直于AB，并與CD延長線相交于點(diǎn)P，過P作直線與⊙O分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連結(jié)AE，AF分別與CD交于G、H

（Ⅰ）設(shè)EF中點(diǎn)為，求證：O、、B、P四點(diǎn)共圓
（Ⅱ）求證:OG =OH.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，A，C關(guān)于軸對稱，BD平行于拋物線在點(diǎn)C處的切線。
（Ⅰ）證明：AC平分；
（Ⅱ）若點(diǎn)A坐標(biāo)為，四邊形ABCD的面積為4，求直線BD的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知定圓的圓心為，動圓過點(diǎn)，且和圓相切，動圓的圓心的軌跡記為．
(Ⅰ)求曲線的方程；
(Ⅱ)若點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，試探究直線：與曲線是否存在交點(diǎn)? 若存在，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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