Question

如圖，在邊長(zhǎng)為1m的正方形鐵皮的四角切去邊長(zhǎng)為x的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底鐵皮箱，容積為V，并規(guī)定：鐵皮箱的高度x與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值不超過(guò)正常數(shù)c，求V的最大值，并寫出相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：先求出長(zhǎng)方體的底面正方形的邊長(zhǎng)和高，便可求出長(zhǎng)方體的容積V解析式，把容積V變形后使用基本不等式求出最大值，注意分析等號(hào)成立條件能否滿足，當(dāng)?shù)忍?hào)成立條件不能滿足時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性確定函數(shù)的最大值．

解答：解：長(zhǎng)方體的底面正方形的邊長(zhǎng)為1-2x，高為x，所以，容積V=4（x-

1

2

）²x，
鐵皮箱的高度x與底面正方形的邊長(zhǎng)1-2x的比值

x

1-2x

≤c，得 0＜x≤

c

1+2c

，
由均值不等式知V=2（

1

2

-x）（

1

2

-x）（2x）≥

2

27

，
當(dāng)

1

2

-x=2x，即x=

1

6

時(shí)等號(hào)成立．
①當(dāng)

1

6

≤

c

1+2c

，即 c≥

1

4

，V_max=

2

27

；
②當(dāng)

1

6

≤

c

1+2c

，即 0＜c＜

1

4

時(shí)，V'（x）=12（x-

1

3

） ²-

1

3

，
則V′（x）在（0，

1

6

）上單調(diào)遞減，
∴V'（x）≥V'（

c

1+2c

）＞V'（

1

6

）=0，
∴V（x）在（0，

c

1+2c

]單調(diào)遞增，
∴V_max=V（

c

1+2c

）=

c

(1+2c)3

總之，0＜c＜

1

4

時(shí)，則當(dāng)x=時(shí)

c

1+2c

，V_max=V（

c

1+2c

）=

c

(1+2c)3

；
若 c≥

1

4

，V_max=

2

27

．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道應(yīng)用題，主要還是考查導(dǎo)數(shù)的定義及利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求區(qū)間函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是求導(dǎo)要精確．