Question

如圖，在邊長(zhǎng)為1m的正方形鐵皮的四角切去邊長(zhǎng)為x的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底鐵皮箱，容積為V，并規(guī)定：鐵皮箱的高度x與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值不超過(guò)正常數(shù)c，求V的最大值，并寫(xiě)出相應(yīng)的x的值．

Answer 1

【答案】分析：先求出長(zhǎng)方體的底面正方形的邊長(zhǎng)和高，便可求出長(zhǎng)方體的容積V解析式，把容積V變形后使用基本不等式求出最大值，注意分析等號(hào)成立條件能否滿足，當(dāng)?shù)忍?hào)成立條件不能滿足時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性確定函數(shù)的最大值．
解答：解：長(zhǎng)方體的底面正方形的邊長(zhǎng)為1-2x，高為x，所以，容積V=4（x-）²x，
鐵皮箱的高度x與底面正方形的邊長(zhǎng)1-2x的比值≤c，得 0＜x≤，
由均值不等式知V=2（-x）（-x）（2x）≥，
當(dāng)-x=2x，即x=時(shí)等號(hào)成立．
①當(dāng)≤，即 c≥，V_max=；
②當(dāng)≤，即 0＜c＜時(shí)，V'（x）=12（x-） ²-，
則V′（x）在（0，）上單調(diào)遞減，
∴V'（x）≥V'（）＞V'（）=0，
∴V（x）在（0，]單調(diào)遞增，
∴V_max=V（）=
總之，0＜c＜時(shí)，則當(dāng)x=時(shí)，V_max=V（）=；
若 c≥，V_max=．
點(diǎn)評(píng)：此題是一道應(yīng)用題，主要還是考查導(dǎo)數(shù)的定義及利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求區(qū)間函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是求導(dǎo)要精確．