Question

在學(xué)校組織的趣味數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽中，甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束，根據(jù)分組情況知除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是

1

2

外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是

2

3

，假設(shè)各局比賽結(jié)果相互對(duì)立．
（1）分別求乙隊(duì)以3：0，3：1，3：2獲勝的概率；
（2）若比賽結(jié)果為3：0或3：1，則勝利方得3分、對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為3：2，則勝利方得2分、對(duì)方得1分．求甲隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）乙隊(duì)獲勝有三種情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每種情形的最后一局肯定是乙隊(duì)勝，分別求出相應(yīng)的概率，最后根據(jù)互斥事件的概率公式求出乙隊(duì)獲得這次比賽勝利的概率；
（2）X的取值可能為0，1，2，3，然后利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式解之即可．

解答： 解：（1）乙隊(duì)獲勝有三種情形，其每種情形的最后一局肯定是乙隊(duì)勝
①3：0，概率為P₁=（

1

3

）³=

1

27

；
②3：1，概率為P₂=

C

2 3

（

1

3

）²×（1-

1

3

）×

1

3

=

2

27

；
③3：2，概率為P₃=

C

2 4

（

1

3

）²×（1-

1

3

）²×

1

2

=

4

27

，
∴甲隊(duì)3：0，3：1，3：2勝利的概率：

1

27

，

2

27

，

4

27

．
（2）甲隊(duì)得分X，則X的取值可能為0，1，2，3．
由（1）知P（X=0）=P₁+P₂=

3

27

；
P（X=1）=P₃=

4

27

；
P（X=2）=

C

2 4

（

2

3

）²×（1-

2

3

）²×

1

2

=

4

27

；
P（X=3）=（1-

1

3

）³+

C

1 3

（1-

1

3

）²×（

1

3

）×

2

3

=

16

27

；
則X的分布列為

X	3	2	1	0
P	16 27	4 27	4 27	3 27

E（X）=3×

16

27

+2×

4

27

+1×

4

27

+0×

3

27

=

20

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機(jī)變量的期望與分布列，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．