已知動直線與橢圓交于、兩不同點(diǎn)，且△的面積=，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）證明和均為定值；
（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值；
（3）橢圓上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，判斷△的形狀；若不存在，請說明理由.

（1）證明詳見解析；（2）；（3）不存在點(diǎn)滿足要求.

解析試題分析：（1）先檢驗(yàn)直線斜率不存在的情況，后假設(shè)直線的方程，利用弦長公式求出的長，利用點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得與均為定值；（2）由（1）可求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入并利用基本不等式求最值；（3）假設(shè)存在，使得，由（1）得，，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，可以求出直線的方程，從而得到結(jié)論.
試題解析：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/af/1/12see3.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上，因此   ①
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f8/6/1q5th3.png" style="vertical-align:middle;" />所以   ②
由①、②得，此時     2分
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為
由題意知，將其代入，得
其中即 （*）
又
所以
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為
所以

又，整理得，且符合（*）式
此時

綜上所述，結(jié)論成立         5分
（2）解法一：
（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，由（I）知
因此               6分
（2）當(dāng)直線的斜率存在時，由（I）知

所以

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立
綜合（1）（2）得的最大值為             9分
解法二：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e0/f/iuqwt.png" style="vertical-align:middle;" />

所以
即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立
因此的最大值為                   9分
（3）橢圓C上不存在三點(diǎn)，使得 10分
證明：假設(shè)存在滿足
由（I）得

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知A，B，C是橢圓W：＋y2＝1上的三個點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；
(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)、，動點(diǎn)滿足：，且
（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）已知圓W： 的切線與軌跡相交于P，Q兩點(diǎn)，求證：以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C：的一個焦點(diǎn)為F1(0,3)，M(x,4)(x＞0)為橢圓C上一點(diǎn)，△MOF1的面積為.
（1） 求橢圓C的方程；
（2） 是否存在平行于OM的直線l，使得直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且過點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別是橢圓C長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于軸上方，.

（1）求橢圓C的方程；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M是直角三角PAF的外接圓圓心，求橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

求以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓： 的離心率為 ，點(diǎn) 為其下焦點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過 的直線 ：（其中）與橢圓 相交于兩點(diǎn)，且滿足：.

（1）試用  表示 ；
（2）求  的最大值；
（3）若 ，求  的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知曲線：.
（1）若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍；
（2）設(shè)，過點(diǎn)的直線與曲線交于,兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為直角三角形，求直線的斜率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓（）的右焦點(diǎn)為，離心率為.
（Ⅰ）若，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，分別為線段的中點(diǎn). 若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案