定義在[1,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足:①f(2x)=cf(x)(c為正常數(shù));
②當(dāng)2≤x≤4時(shí),f(x)=1-|x-3|.試解答下列問題:
(1)設(shè)c>2,方程f(x)=2的根由小到大依次記為a1,a2,a3,…,an,…,試證明:數(shù)列a2n-1+a2n為等比數(shù)列;
(2)①是否存在常數(shù)c,使函數(shù)的所有極大值點(diǎn)均落在同一條直線上?若存在,試求出c的所有取值并寫出直線方程;若不存在,試說明理由;②是否存在常數(shù)c,使函數(shù)的所有極大值點(diǎn)均落在同一條以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線上?若存在,試求出c的所有取值并寫出拋物線方程;若不存在,試說明理由.
分析:(1)先利用分類討論的方法化簡函數(shù)f(x),令f(x)=cn-2(1-|
x
2n-2
-3|)=2,1-|
x
2n-2
-3|=2c2-n≤1
,從而n≥3,故
x
2n-2
-3=2c2-n-1
x
2n-2
-3=1-2c2-n
,當(dāng)n≥3時(shí),[2n-2(
2
c
)n-2]-
[2n-1+2(
2
c
)n-2]
=2n-1-4(
2
c
)n-2>0
,于是a1+a2=22+23,a3+a4=23+24,從而a2n-1+a2n=2n+1+2n+2=12•2n-1,n∈N*.從而得出數(shù)列a2n-1+a2n構(gòu)成以12為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.
(2)記函數(shù)f(x)=cn-2(1-|
x
2n-2
-3|).(2n-1≤x≤2n,n∈N*)
的極大值點(diǎn)為pn(xn,yn).由kp2p1=kp2p3(k表示直線的斜率),得c=2或c=1.分別求出當(dāng)c=2時(shí)的拋物線方程,以及當(dāng)c=4,c=
2
時(shí),拋物線方程即可.
解答:解:函數(shù)f(x)是一個(gè)分段函數(shù).
當(dāng)1≤x≤2時(shí),2≤2x≤4,f(x)=
1
c
f(2x)=
1
c
(1-|2x-3|)
;
當(dāng)4≤x≤8時(shí),2≤
x
2
≤4,f(x)=cf(
x
2
)=c(1-|
x
2
-3|)
;
當(dāng)2n-1≤x≤2n(n∈N*)時(shí),f(x)=cn-2(1-|
x
2n-2
-3|)

(1)令f(x)=cn-2(1-|
x
2n-2
-3|)=2,1-|
x
2n-2
-3|=2c2-n≤1
,(2)
從而n≥3,故
x
2n-2
-3=2c2-n-1
x
2n-2
-3=1-2c2-n
,于是,x=2n-1+2(
2
c
)n-2
x=2n-2(
2
c
)n-2

當(dāng)n≥3時(shí),[2n-2(
2
c
)n-2]-
[2n-1+2(
2
c
)n-2]
=2n-1-4(
2
c
)n-2>0

a1=22+2(
2
c
)
a2=23-2(
2
c
)
,a3=23+2(
2
c
)2
a4=24-2(
2
c
)2
,于是a1+a2=22+23,a3+a4=23+24,從而a2n-1+a2n=2n+1+2n+2=12•2n-1,n∈N*
故數(shù)列a2n-1+a2n構(gòu)成以12為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.(6分)
(2)記函數(shù)f(x)=cn-2(1-|
x
2n-2
-3|).(2n-1≤x≤2n,n∈N*)
的極大值點(diǎn)為pn(xn,yn).
xn
2n-2
-3=0
,即xn=3•2n-2時(shí),yn=cn-2,故pn(3•2n-2,cn-2).
分別令n=1,2,3得p1(
3
2
,
1
c
)
,p2(3,1),p3(6,c).
kp2p1=kp2p3(k表示直線的斜率),得c=2或c=1.
當(dāng)c=2時(shí),yn=2n-2,xn=3•2n-2,所有極大值點(diǎn)均在直線y=
1
3
x
上;
當(dāng)c=1時(shí),yn=1對n∈N*恒成立,此時(shí)極大值點(diǎn)均在直線y=1上.(10分)
以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線方程可設(shè)為x2=py(p≠0)或y2=qx(q≠0).
若pn(3•2n-2,cn-2).在拋物線x2=py(p≠0)上,則(3•2n-22=pcn-2,
9
p
=(
c
4
)n-2
對n∈N*恒成立,從而c=4,p=9,拋物線方程為x2=9y;
若pn(3•2n-2,cn-2).在拋物線y2=qx(q≠0)上,則(cn-22=3q•2n-2
3q=(
c
2
)n-2
對n∈N*恒成立,從而c=
2
,q=
1
3
,拋物線方程為y2=
1
3
x(14分)
點(diǎn)評:本小題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、不等式的解法、數(shù)列與函數(shù)的綜合等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在[1+a,2]上的偶函數(shù)f(x)=ax2+bx-2在區(qū)間[1,2]上是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=ax2+bx-2是定義在[1+a,2]上的偶函數(shù),則f(x)在區(qū)間[1,2]上是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)是定義在[1+a,2]上偶函數(shù),則f(x)=ax2+bx-2在區(qū)間[0,2]上是( 。
A、增函數(shù)B、先增后減函數(shù)C、減函數(shù)D、與a,b有關(guān),不能確定

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=ax2+bx+2是定義在[1+a,2]上的偶函數(shù),則f(x)的值域是( 。
A、[-10,2]B、[-12,0]C、[-12,2]D、與a,b有關(guān),不能確定

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:0117 期中題 題型:單選題

已知函數(shù)f(x)是定義在[1-a,5]上的偶函數(shù),則a的值是
[     ]
A.0
B.1
C.6
D.-6

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案