Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）求證數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）若b_n=a_na_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2（a_n+1），從而可判斷{a_n}是以2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可求得a_n+1．
（2）b_n=a_na_n+1=（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺¹-1）=2×4ⁿ-3×2ⁿ+1，利用分組后，利用等比數(shù)列求和公式求和即可．

解答： 解：（1）解：由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁=1，所以{a_n+1}是以2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2×2^n-1，a_n=2ⁿ-1．
（2）b_n=a_na_n+1=（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺¹-1）=2×4ⁿ-3×2ⁿ+1，
所以，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和
s_n=2（4¹+4²+…+4ⁿ）-3（2¹+2²+…+2ⁿ）+n=2•

4(1-4n)

1-4

-3•

2(1-2n)

1-2

+n=

8

3

•4ⁿ-6•2ⁿ+n-

10

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列求和公式，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．