Question

已知z²=3+4i，求z³-6z+

24

z

的值．

Answer 1

分析：設(shè)z=a+bi，則 z²=a²-b²+2abi=3+4i，解方程求出a、b的值，可得z的值，代入要求的式子化簡(jiǎn)求得結(jié)果

解答：解：設(shè)z=a+bi，a，b∈R，則 z²=a²-b²+2abi=3+4i，
∴a²-b²=3，2ab=4．
解得

a=2 b=1

，或

a=-2 b=-1

，即 z=2+i，或 z=-2-i．
又 z³-6z+

24

z

=

z4-6z2+24

z

=

-1

z

．
當(dāng)z=2+i時(shí)，z³-6z+

24

z

=

-1

z

=

-1

2+i

=

-1×(2-i)

(2+i)(2-i)

=-

2

5

+

1

5

i．
當(dāng)z=-2-i時(shí)，z³-6z+

24

z

=

-1

z

=

-1

-2-i

=

1

2+i

=

(2-i)

(2+i)(2-i)

=

2

5

-

1

5

i．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．