Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若，是否存在實數(shù)m，使函數(shù)f（x）的值域恰為？若存在，請求出m的取值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：把函數(shù)解析式的第一項理由二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第二項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的余弦函數(shù)，
（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式T=即可求出函數(shù)的最小正周期；由余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間[2kπ，2kπ+π]列出關于x的不等式，求出不等式的解集即為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）不存在，理由為：由x的范圍，求出2x-的范圍，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到cos（2x-）的值域，進而表示出函數(shù)f（x）的值域，根據(jù)已知函數(shù)的值域求出m的值，求出m的值不相等，矛盾，故這樣的m不存在．
解答：解：
=（cos2x+1）+sin2x+m
=2cos（2x-）++m，
（Ⅰ）∵ω=2，∴T==π，
又2kπ≤2x-≤2kπ+π，余弦函數(shù)cos（2x-）單調(diào)遞減，
則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+，kπ+]；
（Ⅱ）不存在，理由為：
∵0≤x≤，∴-≤2x-≤，
∴-≤cos（2x-）≤1，
函數(shù)f（x）的值域為[-1+m，+2+m]，
又函數(shù)f（x）的值域恰為，
故+2+m=2，解得m=-，而-1+m=-，解得m=1-2，矛盾，
故不存在這樣的m使函數(shù)f（x）的值域恰為．
點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及余弦函數(shù)的單調(diào)性，靈活運用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)解析式化為一個角的余弦函數(shù)是解本題的關鍵．