已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013110223222790919549/SYS201311022324019901876285_ST.files/image002.png">,若在上為增函數(shù),則稱為“一階比增函數(shù)”;若在上為增函數(shù),則稱為“二階比增函數(shù)”.我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為,所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為.
(Ⅰ)已知函數(shù),若且,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)已知,且的部分函數(shù)值由下表給出,
求證:;
(Ⅲ)定義集合
請(qǐng)問(wèn):是否存在常數(shù),使得,,有成立?若存在,求出的最小值;若不存在,說(shuō)明理由.
(I)(Ⅱ)見(jiàn)解答(Ⅲ) .
【解析】
試題分析:(I)理解且的意義,代入后利用函數(shù)的性質(zhì)求解; (Ⅱ)通過(guò)表格得到 ,再運(yùn)用為增函數(shù)建立不等式,導(dǎo)出,運(yùn)用 即可. (Ⅲ)判斷 即運(yùn)用反證法證明,如果使得則利用即為增函數(shù)一定可以找到一個(gè),使得,對(duì)成立;同樣用反證法證明證明在上無(wú)解;從而得到,對(duì)成立,即存在常數(shù),使得,,有成立,選取一個(gè)符合條件的函數(shù)判斷 的最小值是 ,由上面證明結(jié)果確定 即是符合條件的所有函數(shù)的結(jié)果.
試題解析:(I)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013110223222790919549/SYS201311022324019901876285_DA.files/image028.png">且,
即在是增函數(shù),所以 2分
而在不是增函數(shù),而
當(dāng)是增函數(shù)時(shí),有,所以當(dāng)不是增函數(shù)時(shí),.
綜上得 4分
(Ⅱ) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013110223222790919549/SYS201311022324019901876285_DA.files/image028.png">,且
所以,
所以,
同理可證,
三式相加得
所以 6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013110223222790919549/SYS201311022324019901876285_DA.files/image043.png">所以
而, 所以
所以 8分
(Ⅲ) 因?yàn)榧?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013110223222790919549/SYS201311022324019901876285_DA.files/image048.png"> 且存在常數(shù) ,使得任取
所以,存在常數(shù) ,使得 對(duì)成立
我們先證明對(duì)成立
假設(shè)使得,
記
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013110223222790919549/SYS201311022324019901876285_DA.files/image053.png">是二階增函數(shù),即是增函數(shù).
所以當(dāng)時(shí),,所以
所以一定可以找到一個(gè),使得
這與 對(duì)成立矛盾 11分
對(duì)成立
所以,對(duì)成立
下面我們證明在上無(wú)解
假設(shè)存在,使得,
則因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013110223222790919549/SYS201311022324019901876285_DA.files/image053.png">是二階增函數(shù),即是增函數(shù)
一定存在,這與上面證明的結(jié)果矛盾
所以在上無(wú)解
綜上,我們得到,對(duì)成立
所以存在常數(shù),使得,,有成立
又令,則對(duì)成立,
又有在上是增函數(shù) ,所以,
而任取常數(shù),總可以找到一個(gè),使得時(shí),有
所以的最小值 為. 14分
考點(diǎn):閱讀能力,構(gòu)造函數(shù)能力,邏輯推理能力,反證法證明,不等式證明,函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用.
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已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040104174106084083/SYS201404010418057327658047_ST.files/image002.png">,
(1)求;
(2)若,且是的真子集,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013080512213268898492/SYS201308051222069045733946_ST.files/image002.png">,部分對(duì)應(yīng)值如下表。的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示。
0 |
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下列關(guān)于函數(shù)的命題:
①函數(shù)在上是減函數(shù);②如果當(dāng)時(shí),最大值是,那么的最大值為;③函數(shù)有個(gè)零點(diǎn),則;④已知是的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間,則的最大值為。
其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
A、4個(gè) B、3個(gè) C、2個(gè) D、1個(gè)
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A. B. C. D.
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