Question

【題目】已知直線方程為，其中.

（1）求證：直線恒過定點(diǎn)；

（2）當(dāng)變化時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值及此時(shí)的直線方程；

（3）若直線分別與軸軸的負(fù)半軸交于兩點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)的直線方程.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）距離的最大值：，直線方程：（3）面積的最小值為，直線的方程為.

【解析】

（1）直線的方程化為：，令，解出即可得出直線經(jīng)過定點(diǎn)．

（2）設(shè)定點(diǎn)為,當(dāng)變化時(shí)，直線時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最大，此時(shí)直線與垂直，可求直線方程．

（3）直線的斜率存在且，因此可設(shè)直線的方程為，求出直線在軸、軸的截距．可得的面積，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)果．

（1）直線方程為，

可化為對(duì)任意都成立，

所以，解得，

所以直線恒過定點(diǎn).

（2）設(shè)定點(diǎn)為

當(dāng)變化時(shí)，直線時(shí)，

點(diǎn)到直線的距離最大，可知點(diǎn)與定點(diǎn)的連線的距離就是所求最大值，

即，

此時(shí)直線過點(diǎn)且與垂直，

∴，解得

故直線的方程為.

（3）由于直線經(jīng)過定點(diǎn)．直線的斜率存在且，

因此可設(shè)直線方程為

可得與軸、軸的負(fù)半軸交于，兩點(diǎn)

∴，，解得．

∴

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，面積的最小值為4

此時(shí)直線的方程為：，化為：．