設(shè)正數(shù)x，y，z，
（1）滿足x+y+z=1，求證：
1
x
+
4
y
+
9
z
≥36；
（2）若x+y=1，求(x+
1
x
)(y+
1
y
)的最小值．
考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式
專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用
分析：（1）證明：利用柯西不等式，可得結(jié)論；
（2）(x+
1
x
)(y+
1
y
)=xy+
1
xy
+
y
x
+
x
y
=xy+
2
xy
-2，利用=xy+
2
xy
在（0，
1
4
]上單調(diào)遞減，即可求出(x+
1
x
)(y+
1
y
)的最小值．
解答： （1）證明：（利用柯西不等式）
1
x
+
4
y
+
9
z
=(
1
x
+
4
y
+
9
z
)(x+y+z)≥(1+2+3)2=36
（2）解：(x+
1
x
)(y+
1
y
)=xy+
1
xy
+
y
x
+
x
y
=xy+
2
xy
-2
∵x+y=1，∴0＜xy≤
1
4
，
∵t=xy+
2
xy
在（0，
1
4
]上單調(diào)遞減，
∴(x+
1
x
)(y+
1
y
)的最小值為
1
4
+8-2=
25
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查柯西不等式，考查基本不等式的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，將無(wú)蓋正方體紙盒展開，直線AB，CD在原正方體中的位置關(guān)系是（　�。�
A、平行B、相交且垂直
C、異面D、相交成60°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=exu（x），
（Ⅰ）若u（x）=x2-
5
2
x+2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若u（x）=x2+ax-3-2a，設(shè)函數(shù)g（x）=（a2+14）ex+4．當(dāng)a＞0時(shí)，分別求出f（x）和g（x）在x∈[0，4]的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若直線l1，l2的傾斜角為直線y=
3
x+1的傾斜角的一半，且滿足下列條件的直線l1，l2的方程；
（1）直線l1經(jīng)過點(diǎn)（-4，1）； 
（2）直線l2在y軸上的截距為-10．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x-1
2x+1
，試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex-tx-1（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)不等式f（x）＞-2tx-1的解集為M，且集合{x|0＜x≤2}⊆M，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ax+b
1+x2
是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(
1
2
)=
2
5
．
（1）求a，b的值；
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）已知f（t）+f（t-1）＜0，求t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|
x+1
x-3
≤0}，B={x|2x-4≥x-2}，
（1）求A∩B；
（2）若集合C={x|2x+a＞0}，滿足B∪C=C，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求y=
x2-4x+5
x-1
的值域．

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