Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-tx-1（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)不等式f（x）＞-2tx-1的解集為M，且集合{x|0＜x≤2}⊆M，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）借助導(dǎo)數(shù)，討論t的不同范圍確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）將問題化恒成立問題，再轉(zhuǎn)化為最值問題．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-tx-1，
∴f′（x）=e^x-t，
當(dāng)t≤0時(shí)，有f′（x）＞0在R上恒成立；
當(dāng)t＞0時(shí)，由f′（x）＞0可得x＞lnt．
綜上可得，當(dāng)t≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當(dāng)t＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（lnt，+∞）．
（2）由不等式f（x）＞-2tx-1即e^x+tx＞0的解集為M，且{x|0＜x≤2}⊆M，可知，
對于任意x∈（0，2]，不等式e^x+tx＞0即t＞-

ex

x

恒成立． 
令g(x)=-

ex

x

，∴g′(x)=

(1-x)ex

x2

． 
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g'（x）＞0；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，g'（x）＜0．
∴函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，2）上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)g（x）在x=1處取得極大值g（1）=-e，
即為在x∈（0，2]上的最大值．
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-e，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，將單調(diào)性問題化為導(dǎo)數(shù)的正負(fù)問題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，恒成立問題化為最值問題，屬于難題．