Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+x，（a∈R且a≠0）
（1）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂，比較

1

2

[f(x1)+f(x2)]與f(

x1+x2

2

)的大��；
（2） 若x∈[0，1]時(shí)，有|f（x）|≤1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用作差進(jìn)行比較，將

1

2

[f(x1)+f(x2)]與f(

x1+x2

2

)進(jìn)行作差然后配方，討論系數(shù)的符號(hào)確定大小關(guān)系；
（2）當(dāng)x=0時(shí)，|f（x）|=0符合題意，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，|f（x）|≤1，然后將a分離出來，求出不等式另一邊的最值即可求出a的范圍．

解答：解：（1）

1

2

[f(x1)+f(x2)]-f(

x1+x2

2

)=

a

4

(x1-x2)²
當(dāng)a＞0時(shí)，

1

2

[f(x1)+f(x2)]-f(

x1+x2

2

)≥0，
即

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)；
當(dāng)a＜0時(shí)，

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤f(

x1+x2

2

)．

（2）∵x∈[0，1]
當(dāng)x=0時(shí)，|f（x）|=0符合題意；
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，|f（x）|≤1
即

ax2+x≤1 ax2+x≥-1

∴

a≤ 1 x2 - 1 x a≥- 1 x2 - 1 x

∴-2≤a≤0
又∵a≠0，∴-2≤a＜0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及作差比較法和參數(shù)分離法的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．