Question

如圖已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，直線分別與直線：相交于兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的方程；
(2)證明△ABO與△MNO的面積之比為定值．

Answer 1

（1）；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

試題分析：本題主要考查拋物線、直線的方程，以及直線與拋物線的位置關(guān)系，突出解析幾何的基本思想和方法的考查：如數(shù)形結(jié)合思想、坐標(biāo)化方法等.第一問(wèn)，利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，代入即可；第二問(wèn)，討論直線垂直和不垂直軸2種情況，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，2個(gè)三角形相似，面積比為定值，當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)出直線的方程，設(shè)出四個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線與拋物線相交列出方程組，消參得到方程，利用兩根之積得為定值，而面積比值與有關(guān)，所以也為定值.
試題解析：（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)為 可知
所以,所以拋物線的方程為                     5分
（2）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，與相似，
所以,                        7分
當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB方程為,
設(shè)，，，，
解整理得，                      9分
所以,                                        10分
,
綜上                               12分