Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是邊長(zhǎng)為

2

的正方形，AA₁=3，點(diǎn)E在棱B₁B上運(yùn)動(dòng)．
（Ⅰ）證明：AC⊥D₁E；
（Ⅱ）若三棱錐B₁-A₁D₁E的體積為

2

3

時(shí)，求異面直線AD，D₁E所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）首先，連結(jié)BD，可以首先，證明AC⊥平面B₁BDD₁，然后，得到AC⊥D₁E；
（Ⅱ）首先，可以得到∠A₁D₁B₁為異面直線AD，D₁E所成的角，然后，根據(jù)ED1=2

2

，求解得到，∠A₁D₁E=60°．

解答： 解：（Ⅰ）如下圖所示：

連接BD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是直棱柱，
∴B₁B⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，
∴B₁B⊥AC，
∴AC⊥平面B₁BDD₁．
∵D₁E?平面B₁BDD₁，
∴AC⊥D₁E．

（Ⅱ）∵VB1-A1D 1E=VE-A1B 1D1，EB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴VE-A1B 1D1=

1

3

S△A1B1D1•EB1．
∵S△A1B1D1=

1

2

A1B1•A1D1=1，
∴VE-A1B 1D1=

1

3

EB1=

2

3

．
∴EB₁=2．∵AD∥A₁D₁，
∴∠A₁D₁B₁為異面直線AD，D₁E所成的角．
在Rt△EB₁D₁中，求得ED1=2

2

．
∵D₁A₁⊥平面A₁ABB₁，
∴D₁A₁⊥A₁E．
在Rt△EB₁D₁中，得
cos∠A1D1E=

2

2 2

=

1

2

，
∴∠A₁D₁E=60°．
∴異面直線AD，D₁E所成的角為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了線面垂直、線線垂直的判定與性質(zhì)、異面直線所成的角等知識(shí)，屬于中檔題．