Question

圖1和圖2中的四邊形ABCD和AEFG都是正方形．
（1）如圖1，連結(jié)DE、BG，M為線段BG的中點，連結(jié)AM，探究AM與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）在圖1的基礎(chǔ)上，將正方形AEFG繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連結(jié)DE、BG，M為線段BG的中點，連結(jié)AM，探究AM與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計算題,作圖題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)AM∩DE=O，根據(jù)圖形可判斷Rt△DAE≌Rt△BAG，利用對應(yīng)角，邊長，得出∠OEA+∠EAO=90°，即可得出垂直，相等問題；
（2）延長AM到N，使MN=AM，連結(jié)NG，根據(jù)圖形可判斷△MNG≌△ABM，△AGN≌△DAE，再由角的轉(zhuǎn)化可得∠ADE+∠DAN=90°，從而證明．

解答： 解：（1）如圖1，可得出AM=

1

2

DE，AM⊥DE，證明如下，
設(shè)AM∩DE=O，
根據(jù)圖形可判斷Rt△DAE≌Rt△BAG，
∴∠BGA=∠DEA，∠EDA=∠GBA，DE=BG；
∵M為線段BG的中點，
∴MA=AB，AM=

1

2

BG，
∴∠MAB=∠MBA，AM=

1

2

DE，
∴∠OEA+∠EAO=90°，
∴∠EOA=90°，
∴AM⊥DE，
故AM=

1

2

DE，AM⊥DE；
（2）可得出AM=

1

2

DE，AM⊥DE，證明如下，
延長AM到N，使MN=AM，連結(jié)NG，
∵MN=AM，BM=MG，∠NMG=∠BMA；
∴△MNG≌△ABM；
∴NG=AB=AD，AB∥NG，
∴NG⊥AD，
∴∠AGN=∠EAD，
又∵AE=AG，
∴△AGN≌△DAE，
∴AN=DE，
∴AM=

1

2

AN=

1

2

DE；
∠ADE=∠ANG，∠DAN+∠ANG=90°，
故∠ADE+∠DAN=90°，
故AM⊥DE．

點評：本題考查了平面圖形中邊角的關(guān)系判斷與證明，同時考查了學(xué)生的作圖能力，屬于中檔題．