Question

已知非負(fù)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a+b+c=1，證明：

ab

c+1

+

bc

a+1

+

ca

b+1

≤

1

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：綜合法與分析法(選修）,不等式的證明

專(zhuān)題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：通過(guò)重要不等式，a²+b²≥2ab證明

ab

c+1

≤

1

4

(

ab

a+c

+

ab

b+c

)，類(lèi)似推出所證明不等式左側(cè)的兩個(gè)表達(dá)式，可以綜合法證明即可．

解答： 解：∵非負(fù)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a+b+c=1，
又a²+b²≥2ab，∴a²+b²+4c²+2ab+4bc+4ac≥4c²+4ab+4bc+4ac，
即（a+b+2c）²≥4（c²+ab+bc+ac）=4（a+c）（b+c），
∴

1

a+b+2c

≤

1

4

•

a+b+2c

(a+c)(b+c)

=

1

4

（

1

a+c

+

1

b+c

），
可得

ab

a+b+2c

≤

1

4

(

ab

a+c

+

ab

b+c

)，
即

ab

c+1

≤

1

4

(

ab

a+c

+

ab

b+c

)，
同理

bc

a+1

≤

1

4

(

bc

b+a

+

cb

c+a

)，

ac

b+1

≤

1

4

(

ca

a+b

+

ca

b+c

)，
∴

ab

c+1

+

bc

a+1

+

ca

b+1

≤

1

4

(

ab

a+c

+

ab

b+c

+

bc

b+a

+

cb

c+a

+

ca

a+b

+

ca

b+c

)=

1

4

(a+b+c)=

1

4

，
∴

ab

c+1

+

bc

a+1

+

ca

b+1

≤

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，綜合法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析所證明不等式的左側(cè)形式，開(kāi)學(xué)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．