【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC⊥PB,△BCD為等邊三角形,PA=BD= ,AB=AD,E為PC的中點.

(1)求證:BC⊥AB;
(2)求AB的長;
(3)求平面BDE與平面ABP所成二面角的正弦值.

【答案】
(1)證明:連結AC,

∵PA⊥底面ABCD,BC平面ABCD,∴PA⊥BC,

又∵BC⊥PB,PA∩PB=P,∴BC⊥平面PAB,

∵AB平面PAB,

∴AB⊥BC


(2)解:由(1)知AB⊥BC,

∵△BCD為等邊三角形,∴∠ABD=30°,

又AB=AD, ,

解得AB=1


(3)解:分別以BC,BA所在直線為x,y軸,過B且平行PA的直線為z軸,建立空間直角坐標系,

, ,

由題意可知平面PAB的法向量 ,

設平面BDE的法向量為

,

取x=3,得 ,

,

∴平面BDE與平面ABP所成二面角的正弦值為


【解析】(1)連結AC,推導出PA⊥BC,BC⊥PB,從而BC⊥平面PAB,由此能證明AB⊥BC.(2)推導出AB⊥BC,∠ABD=30°,由此能求出AB.(3)分別以BC,BA所在直線為x,y軸,過B且平行PA的直線為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出平面BDE與平面ABP所成二面角的正弦值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的性質的相關知識,掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行.

練習冊系列答案
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