Question

13．已知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為3的球面上，當正六棱柱的體積最大時，其高的值為（　�。�

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{6}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)正六棱柱和球的對稱性，球心O必然是正六棱柱上下底面中心連線的中點，作出過正六棱柱的對角面的軸截面即可得到正六棱柱的底面邊長、高和球的半徑的關(guān)系，在這個關(guān)系下求函數(shù)取得最值的條件即可求出所要求的量．

解答 解：以正六棱柱的最大對角面作截面，如圖．設(shè)球心為O，正六棱柱的上下底面中心分別為O₁，O₂，則O是O₁，O₂的中點．設(shè)正六棱柱的底面邊長為a，高為2h，則a²+h²=9．正六棱柱的體積為V=$6×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×2h$=$3\sqrt{3}（9-{h}^{2}）h$，則V′=3$\sqrt{3}$（9-3h²），
得極值點h=$\sqrt{3}$，不難知道這個極值點是極大值點，也是最大值點．故當正六棱柱的體積最大，其高為2$\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題是在空間幾何體、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用交匯處命制，解題的關(guān)鍵是建立正六棱柱體積的函數(shù)關(guān)系式．