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13．已知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為3的球面上，當正六棱柱的體積最大時，其高的值為（　�。�
A．3$\sqrt{3}$B．$\sqrt{3}$C．2$\sqrt{6}$D．2$\sqrt{3}$

分析 根據正六棱柱和球的對稱性，球心O必然是正六棱柱上下底面中心連線的中點，作出過正六棱柱的對角面的軸截面即可得到正六棱柱的底面邊長、高和球的半徑的關系，在這個關系下求函數取得最值的條件即可求出所要求的量．

解答 解：以正六棱柱的最大對角面作截面，如圖．設球心為O，正六棱柱的上下底面中心分別為O1，O2，則O是O1，O2的中點．設正六棱柱的底面邊長為a，高為2h，則a2+h2=9．正六棱柱的體積為V=$6×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×2h$=$3\sqrt{3}（9-{h}^{2}）h$，則V′=3$\sqrt{3}$（9-3h2），
得極值點h=$\sqrt{3}$，不難知道這個極值點是極大值點，也是最大值點．故當正六棱柱的體積最大，其高為2$\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題是在空間幾何體、導數的應用交匯處命制，解題的關鍵是建立正六棱柱體積的函數關系式．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

3．對于函數f（x）=$\frac{2}{{3}^{x}+1}$+m，（m∈R）
（1）判斷函數f（x）的單調性，并用定義證明
（2）是否存在實數m使函數f（x）為奇函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

4．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（　�。�
A．$（1+\sqrt{2}）{m^2}$B．$（1+2\sqrt{2}）{m^2}$C．$（2+\sqrt{2}）{m^2}$D．$（2+2\sqrt{2}）{m^2}$

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1．已知球O的內接圓柱的體積是2π，底面半徑為1，則球O的表面積為（　�。�
A．6πB．8πC．10πD．12π

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8．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$（a＞b＞0）的一條漸近線方程為y=$\frac{1}{2}$x，則其離心率為（　　）
A．$\frac{\sqrt{5}}{2}$B．$\sqrt{5}$C．$\frac{\sqrt{10}}{2}$D．2$\sqrt{2}$

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18．三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AB=AC=1，E、F分別是CC1、BC的中點，AE⊥A1B1
（1）證明：AB⊥AC
（2）在棱A1B1上是否存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{14}}{14}$？若存在，說明點D的位置，若不存在，說明理由．

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5．在等差數列{an}中，a1=-6，公差為d，前n項和為Sn，當且僅當n=6時，Sn取得最小值，則d的取值范圍為（　�。�
A．$（-1，-\frac{7}{8}）$B．（0，+∞）C．（-∞，0）D．$（1，\frac{6}{5}）$

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2．如圖，正方形O′A′B′C′的邊長為2cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的周長是（　�。ヽm．
A．12B．16C．$4（1+\sqrt{3}）$D．$4（1+\sqrt{2}）$

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3．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P為線段AD（含端點）上一個動點，設$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=y$，則得到函數y=f（x）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）對于任意a∈（0，+∞），求函數f（x）的最大值．

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