已知
OA
=
a
，
OB
=
b
，
a
•
b
=|
a
-
b
|=2，
（1）當△AOB的面積最大時，求
a
與
b
的夾角θ；
（2）在（1）的條件下，判斷△AOB的形狀，并說明理由．
分析：（1）由面積公式得，S△AOB=
1
2
|
a|
•|
b
|sinθ變形得S△AOB=
1
2
(|
a|
•|
b
|) 2-4
，又由
a
•
b
=|
a
-
b
|=2，可解得
a
2+
b
2=8，由基本不等式求出|
a|
•|
b
|的最大值即可求出△AOB的面積最大值．及取到最大值時的夾角；
（2）在（1）的條件下，利用等號成立的條件求出角θ值，又兩鄰邊相等，可得三角形的形狀．
解答：解：（1）由面積公式得，S△AOB=
1
2
|
a|
•|
b
|sinθ變形得S△AOB=
1
2
(|
a|
•|
b
|) 2-4
，
又由
a
•
b
=|
a
-
b
|=2，平方整理可解得
a
2+
b
2=8，
 由基本不等式
a
2+
b
2=8≥2|
a|
•|
b
|，即|
a|
•|
b
|≤4等號當|
a|
=|
b
|時成立
 故S△AOB=
1
2
(|
a|
•|
b
|) 2-4
≤
1
2
42-4
=
3

此時有S△AOB=
1
2
|
a|
•|
b
|sinθ=
3
得sinθ=
3
2
即
a
與
b
的夾角θ=600
（2）在（1）的條件下，|
a|
=|
b
|，
a
與
b
的夾角θ=600
  可知此三角形是等邊三角形．
點評：本題考查向量的運算與三角形的面積公式，及知三角函數(shù)值求角．是一道典型的三角與向量結合的好題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知
OA
=
a
，
OB
=
b
，對任意點M，M點關于A點的對稱點為S，S點關于B點的對稱點為N，用
a
、
b
表示向量
MN
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知數(shù)列{an}的前幾項和為sn=
3
2
(an-1)(n∈N*)
①求數(shù)列的通項公式；
②求數(shù)列{an}的前n項和．
（2）已知
OA
=
a
，
OB
=
b
，且|
a
|=|
b
|=4，∠AOB=60°，
①求|
a
+
b
|，|
a
-
b
|； 
②求（
a
+
b
）與
a
的夾角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，
OD
=
d
，
OE
=
e
，且向量
a
與向量
b
為不共線的兩個向量，設
c
=3
a
，
d
=2
b
，
e
=t（
a
+
b
），t為實數(shù)．
（1）用向量
a
，
b
或實數(shù)t來表示向量
CD
，
CE
；
（2）實數(shù)t為何值時，C，D，E三點在一條直線上？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
OA
=
a
，
OB
=
b
，且|
a
|=|
b
|=4，∠AOB=60°，則
a
+
b
與
a
的夾角是
 
；
a
-
b
與
a
的夾角是
 
；△AOB的面積是
 
．

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