Question

18．已知F₁、F₂分別為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則△PF₁F₂的重心G的軌跡方程為$\frac{9{x}^{2}}{4}+3{y}^{2}=1$（y≠0）．

Answer 1

分析 先確定橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形的重心坐標(biāo)公式，求得G、P坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，即可求得△PF₁F₂的重心G的軌跡方程．

解答 解：∵F₁、F₂分別為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$的左、右焦點(diǎn)
∴F₁（-1，0）、F₂（1，0）
設(shè)G（x，y），P（m，n），則$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+1+m}{3}}\\{y=\frac{0+0+n}{3}}\end{array}\right.$，∴m=3x，n=3y
∵點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)
∴$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1$
∴$\frac{9{x}^{2}}{4}+3{y}^{2}=1$
∵G是△PF₁F₂的重心
∴y≠0
∴△PF₁F₂的重心G的軌跡方程為$\frac{9{x}^{2}}{4}+3{y}^{2}=1$（y≠0）
故答案為：$\frac{9{x}^{2}}{4}+3{y}^{2}=1$（y≠0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求解，考查三角形的重心坐標(biāo)公式，解題的關(guān)鍵是利用代入法解決點(diǎn)隨點(diǎn)動(dòng)型軌跡方程．