Question

以y軸為左準(zhǔn)線，離心率為

1

2

的橢圓過定點(diǎn)P（1，2），則此橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意可知橢圓在y軸右側(cè)，長軸平行于x軸，設(shè)出左頂點(diǎn)坐標(biāo)，由橢圓的離心率為

1

2

得到左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，代入橢圓的第二定義得橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡方程．

解答： 解：∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)M（1，2），且以y軸為準(zhǔn)線，
∴橢圓在y軸右側(cè)，長軸平行于x軸，
設(shè)橢圓左頂點(diǎn)為A（x，y），
∵橢圓的離心率為

1

2

，
∴左頂點(diǎn)A到左焦點(diǎn)F的距離為A到y(tǒng)軸的距離的

1

2

，
從而左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

3x

2

，y），
設(shè)d為點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離，則d=1，
根據(jù)

|MF|

d

=

1

2

及兩點(diǎn)間距離公式，可得
(

3x

2

-1)2+(y-2)2=(

1

2

)2，即
9(x-

2

3

)2+4(y-2)2=1．
故答案為：9(x-

2

3

)2+4(y-2)2=1．

點(diǎn)評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了橢圓的第二定義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．