Question

5．已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）-$\frac{2ax}{x+2}$（a＞0，a為常數(shù)）．
（Ⅰ）當0$＜a≤\frac{1}{2}$時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當x≥0時，若不等式f（x）≥2ln2-$\frac{3}{2}$恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導數(shù)f′（x）=$\frac{ax[x-（4a-4）]}{（ax+1）（x+2）^{2}}$，而f′（x）=0的兩個根為x=0，或x=4a-4，對a分成0$＜a＜\frac{1}{2}$，和a=$\frac{1}{2}$兩種情況，分別在每種情況里判斷導數(shù)f′（x）的符號，和對應的區(qū)間，從而求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論a和1的關系：0＜a≤1，和a＞1，從而判斷f′（x）的符號和f（x）的單調(diào)性，從而求出f（x）的最小值，讓最小值滿足大于等于2ln2-$\frac{3}{2}$即可．而在a＞1時，判斷出f（4a-4）=$2ln（2a-1）-\frac{（2a-1）^{2}-1}{2a-1}$是f（x）的最小值，這時令g（x）=$2lnx-x+\frac{1}{x}$，并容易判斷該函數(shù)在（0，+∞）上為減函數(shù)，而2ln2$-\frac{3}{2}$=g（2），從而只需g（2a-1）≥g（2），根據(jù)g（x）的單調(diào)性從而求出a的范圍，對這兩種情況下求得的a的取值范圍求并集即得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）$f′（x）=\frac{ax[x-（4a-4）]}{（ax+1）（x+2）^{2}}$；
f（x）中x要滿足：ax+1＞0，且x≠-2，而$0＜a≤\frac{1}{2}$；
∴x滿足$\left\{\begin{array}{l}{x＞-\frac{1}{a}}\\{x≠-2}\end{array}\right.$；
（1）當$0＜a＜\frac{1}{2}$時，$-\frac{1}{a}$＜4a-4＜-2；
∴f（x）在（$-\frac{1}{a}，4a-4$），（0，+∞）上遞增，在（4a-4，-2），（-2，0）上遞減；
（2）當a=$\frac{1}{2}$時，$f′（x）=\frac{x}{（x+2）^{2}}$，而x＞-2；
∴f（x）在（-2，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增；
（Ⅱ）（1）若0＜a≤1，∵x≥0，∴f′（x）≥0恒成立；
∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
∴f（x）≥f（0）=0；
而$0＞2ln2-\frac{3}{2}$成立；
∴此時0＜a≤1；
（2）若a＞1，則：
x∈[0，4a-4）時，f′（x）≤0，x∈（4a-4，+∞）時，f′（x）＞0；
∴f（4a-4）=$2ln（2a-1）-\frac{（2a-1）^{2}-1}{2a-1}$是f（x）的最小值；
令g（x）=$2lnx-x+\frac{1}{x}$，則f（4a-4）=g（2a-1）；
$g′（x）=-\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}≤0$；
∴g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；
∴只需f（4a-4）=g（2a-1）≥2ln2-3=$2ln2-2+\frac{1}{2}=g（2）$；
∴0＜2a-1≤2；
∴$\frac{1}{2}＜a≤\frac{3}{2}$；
∴此時1$＜a≤\frac{3}{2}$
綜合（1）（2）可知實數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{3}{2}$]．

點評 考查根據(jù)函數(shù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時需注意函數(shù)的定義域，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值，根據(jù)導數(shù)求函數(shù)的最值，以及構造函數(shù)解決問題的方法．