【題目】已知函數(shù),其中.
(1)若曲線與曲線在點處有相同的切線,試討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,函數(shù)在上為增函數(shù),求證:.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)求得 ,再求 ,導(dǎo)數(shù)的兩個零點分別是和 ,分 三種情況討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),,將問題轉(zhuǎn)化為 ,當(dāng) ,即 ,當(dāng)時,將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題,求所設(shè)函數(shù)的最值,即可求得結(jié)果.
試題解析:解:(1)由題意可得,
則 ,即,
當(dāng)時,,此時在上遞增;
②當(dāng)時,當(dāng)時,;當(dāng)時,;
在上遞增,在上遞減;
③當(dāng)時,當(dāng)時,;當(dāng)時,;
在上遞增,在上遞減;
(2)由題意可得對恒成立,
∵,∴,即對恒成立,
∴,即對恒成立,
設(shè),,
則,
∴在上遞增,
∴,∴.
又,∴.
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【題目】(本小題滿分10分)選修4—5:不等式選講
已知.
(1)關(guān)于的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè),且,求證: .
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【題目】已知函數(shù)y= (n∈Z)的圖像與兩坐標(biāo)軸都無公共點,且其圖像關(guān)于y軸對稱,求n的值,并畫出函數(shù)圖像.
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【題目】甲乙兩人參加某種選拔測試,在備選的10道題中,甲答對其中每道題的概率都是,乙能答對其中的8道題.規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機(jī)抽出4道題進(jìn)行測試,只有選中的4個題目均答對才能入選;
(Ⅰ)求甲恰有2個題目答對的概率及甲答對題目數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。
(Ⅱ)求乙答對的題目數(shù)X的分布列。
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【題目】近年來,我國電子商務(wù)蓬勃發(fā)展. 2016年“618”期間,某網(wǎng)購平臺的銷售業(yè)績高達(dá)516億元人民幣,與此同時,相關(guān)管理部門推出了針對該網(wǎng)購平臺的商品和服務(wù)的評價系統(tǒng). 從該評價系統(tǒng)中選出200次成功交易,并對其評價進(jìn)行統(tǒng)計,網(wǎng)購者對商品的滿意率為0.6,對服務(wù)的滿意率為0.75,其中對商品和服務(wù)都滿意的交易為80次.
(Ⅰ) 根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并回答能否有99%的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務(wù)滿意之間有關(guān)系”?
對服務(wù)滿意 | 對服務(wù)不滿意 | 合計 | |
對商品滿意 | 80 | ||
對商品不滿意 | |||
合計 | 200 |
(Ⅱ) 若將頻率視為概率,某人在該網(wǎng)購平臺上進(jìn)行的3次購物中,設(shè)對商品和服務(wù)都滿意的次數(shù)為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:(其中為樣本容量)
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【題目】已知函數(shù).
(1)判斷的奇偶性;
(2)用單調(diào)性的定義證明為上的增函數(shù);
(3)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】國際奧委會將于2017年9月15日在秘魯利馬召開130次會議決定2024年第33屆奧運
會舉辦地。目前德國漢堡、美國波士頓等申辦城市因市民擔(dān)心賽事費用超支而相繼退出。某機(jī)構(gòu)為調(diào)查我國公民對申辦奧運會的態(tài)度,選了某小區(qū)的100位居民調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下:
支持 | 不支持 | 合計 | |
年齡不大于50歲 | 80 | ||
年齡大于50歲 | 10 | ||
合計 | 70 | 100 |
(1)根據(jù)已有數(shù)據(jù),把表格數(shù)據(jù)填寫完整;
(2)能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認(rèn)為不同年齡與支持申辦奧運無關(guān)?
(3)已知在被調(diào)查的年齡大于50歲的支持者中有5名女性,其中2位是女教師,現(xiàn)從這5名女性中隨機(jī)抽取3人,求至多有1位教師的概率.
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【題目】(1)已知函數(shù)y=lg(x2+2x+a)的定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)已知函數(shù)f(x)=lg[(a2-1)x2+(2a+1)x+1],若f(x)的定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】設(shè)首項為1的正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn+1-3Sn=1.
(1) 求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列;
(2) 數(shù)列{an}是否存在一項ak,使得ak恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)r(r∈N*,r≥2)項的和?請說明理由.
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