Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求證：1是函數(shù)的極值點(diǎn);

（Ⅱ）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求證： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析導(dǎo)數(shù)在1兩側(cè)的符號，判定1是極值點(diǎn)；（Ⅱ）求出的導(dǎo)數(shù)，找到，列表求出函數(shù)的最小值即可證明.

試題解析：（Ⅰ）證明：

證法1： 的定義域為

由得

， .

當(dāng)時， ， ，故在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時， ， ，故在上單調(diào)遞減；

所以1是函數(shù)的極值點(diǎn).

證法2：（根據(jù)極值的定義直接證明）

的定義域為

，

當(dāng)時， ，即；

當(dāng)時， ，即；

根據(jù)極值的定義，1是的極值點(diǎn).

（Ⅱ）由題意可知，

證法1： ，

令，

，故在上單調(diào)遞增. 又，又在上連續(xù)，

使得，即，

.（*）

隨x的變化情況如下：

	↘	極小值	↗

………………10分

.

由（*）式得，代入上式得

.

令，

，故在上單調(diào)遞減.

，又， .

即 .

證法2： ，

令，

隨x的變化情況如下：

	↘	極小值	↗

，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號.

，令得.

隨x的變化情況如下：

	↘	極小值	↗

，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號. .即.