Question

如圖（1），在邊長為2的正方形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)．將△ADE沿DE折起使得平面ADE⊥平面BCDE，如圖（2），F(xiàn)是折疊后AC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）求二面角E-AB-D的平面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ） 取AD中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，由已知得四邊形EBFG是平行四邊形，從而BF∥EG，由此能證明EG∥平面ADE．
（Ⅱ） 以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面EAB的法向量和平面ABD的法向量，由此能求出二面角E-AB-D的平面角的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ） 證明：取AD中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，
∵F為AC中點(diǎn)，∴FG

∥ .

.

1

2

CD，BE

∥ .

.

1

2

CD，
∴FG

∥ .

.

BE，
∴四邊形EBFG是平行四邊形…（3分）
∴BF∥EG，又BF?平面ADE，EG?平面ADE，
∴BF∥平面ADE．…（7分）
（Ⅱ） 如圖示以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，
建立空間直角坐標(biāo)系
則由已知得A(-

1

5

，

2

5

，

2

5

)，
B（1，0，0），D（-1，2，0）
設(shè)平面EAB的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)
則

n1 • EA =0 n1 • EB =0

⇒

- 1 5 x1+ 2 5 y1+ 2 5 z1=0 x1=0

解得一個法向量為

n1

=(0，

5

，-1)…（10分）
設(shè)平面ABD的法向量為

n2

=(x2，y2，z2)
則

n2 • BA =0 n2 • BD =0

⇒

- 6 5 x2+ 2 5 y2+ 2 5 z2=0 -2x2+2y2=0

解得一個法向量為

n2

=(

5

，

5

，2)…（13分）
∵cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

21

14

，
∴二面角E-AB-D的平面角的余弦值

21

14

．…（15分）

點(diǎn)評：本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．