Question

3．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=k，k∈N^*，a₂為k+1，k+2，k+3…中劃去k的倍數(shù)后，剩下數(shù)中的最小數(shù)，a₃是將剩下數(shù)中再把a(bǔ)₂倍數(shù)劃去后，剩下數(shù)中的最小數(shù)，依次確定后面的項(xiàng)，若2012是數(shù)列中某項(xiàng)，則k的最小值為1007．

Answer 1

分析 通過2012=2×2×503可知k≠1006且k≠503，利用503是一個(gè)質(zhì)數(shù)可知k＞503，利用已知數(shù)列的定義可知當(dāng)503＜k＜1006時(shí)不滿足條件，進(jìn)而分析可知當(dāng)k＞1006時(shí)滿足條件，從而可得結(jié)論．

解答 解：∵2012=2×2×503，
∴k≠1006且k≠503（否則2012不是數(shù)列中某項(xiàng)），
又∵503是一個(gè)質(zhì)數(shù)，
∴當(dāng)k＜503時(shí)，數(shù)列{a_n}中一定存在某一項(xiàng)的值為503，
∴k的最小值必須大于503，
∵當(dāng)503＜k＜1006時(shí)，1005＜1006＜2k，
∴數(shù)列{a_n}中一定存在某一項(xiàng)的值為1005，
∴2012不是數(shù)列中的項(xiàng)，矛盾，從而k＞1006，
∵2×1007=2014，
∴當(dāng)k＞1006時(shí)，k，k+1，k+2，k+3，…，2k-1都是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，
且2012=2×1006＜2k-1，
∴k的最小值為1007，
故答案為：1007．

點(diǎn)評(píng) 本題考查是一道關(guān)于數(shù)列的綜合題，考查分析問題、解決問題的能力，題目新穎，難度較大，注意解題方法的積累，屬于難題．