Question

16．已知映射f：A→B中，A=B={（x，y）|x∈R，y∈R}，f：（x，y）→（3x-2y+1，4x+3y-1）．
（1）集合A中是否存在這樣的元素（a，b）使它的象仍然是自身？若有，求出這個元素，若沒有，說明理由；
（2）f：B→A是映射嗎？

Answer 1

分析 （1）假定存在元素（a，b）使它的象仍然是自身，則$\left\{\begin{array}{l}3a-2b+1=a\\ 4a+3b-1=b\end{array}\right.$，解得答案；
（2）根據(jù)已知中A到B的對應(yīng)關(guān)系，令$\left\{\begin{array}{l}3x-2y+1=m\\ 4x+3y-1=n\end{array}\right.$，可得x，y關(guān)于m，n的表達(dá)式，進(jìn)而得到B中任意的元素（m，n）在A中都有唯一的元素與之對應(yīng)，根據(jù)映射的定義，得到結(jié)論．

解答 解：（1）假定存在元素（a，b）使它的象仍然是自身，
則$\left\{\begin{array}{l}3a-2b+1=a\\ 4a+3b-1=b\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
故存在元素（0，$\frac{1}{2}$）使它的象仍然是自身，
（2）令$\left\{\begin{array}{l}3x-2y+1=m\\ 4x+3y-1=n\end{array}\right.$，
則$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{17}m+\frac{2}{17}n-\frac{1}{17}\\ y=-\frac{4}{17}m+\frac{3}{17}n+\frac{7}{17}\end{array}\right.$，
對于B中任意的元素（m，n）在A中都有唯一的元素與之對應(yīng)，
故f：B→A是映射．

點評 本題考查的知識點是映射，但本題運算量較大，轉(zhuǎn)化困難，屬于中檔題．