Question

若存在x∈[2，+∞），使不等式

1+ax

x•2x

≥1成立，則實數(shù)a的最小值為

 

．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,其他不等式的解法

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：依題意知，a≤2^x-

1

x

，構造函數(shù)y=2^x-

1

x

，通過導數(shù)法可判斷y=2^x-

1

x

在[2，+∞）上是增函數(shù)，從而可求y_min，繼而可得實數(shù)a的最小值．

解答： 解：∵存在x∈[2，+∞），使不等式

1+ax

x•2x

≥1成立，
∴1+ax≥x•2^x，即a≥2^x-

1

x

，
令y=2^x-

1

x

，
則y′=2^xln2+

1

x2

＞0，
∴y=2^x-

1

x

，在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴當x=2時，y取得最小值，y_min=2²-

1

2

=

7

2

，
∴a≥

7

2

，即實數(shù)a的最小值為

7

2

．
故答案為：

7

2

．

點評：本題考查分式不等式的解法，著重考查構造函數(shù)思想及恒成立問題，考查函數(shù)單調性的應用，屬于難題．