Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點，上頂點分別為M、N，過其左焦點F作直線l垂直于x軸，且與橢圓在第二象限交于點P，$\overrightarrow{MN}$=λ$\overrightarrow{OP}$
（1）求證：a=$\sqrt$；
（2）若橢圓的弦AB過點E（2，0）并與坐標軸不垂直，設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點A，直線A₁B與x軸交于點R（5，0），求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓方程得M、N的坐標，進一步求得$\overrightarrow{MN}=（-a，b）$，寫出過橢圓左焦點F作直線l的方程：x=-c，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得P的坐標，再求出$\overrightarrow{OP}$的坐標由$\overrightarrow{MN}$=λ$\overrightarrow{OP}$可得b=c，結(jié)合a²=b²+c²得答案；
（2）設(shè)橢圓方程為x²+2y²=2b²，設(shè)直線AB：y=k（x-2），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A，B橫坐標的和與積，求出A₁（x₁，-y₁），結(jié)合A₁、B、R共線得$\overrightarrow{{A}_{1}R}∥\overrightarrow{BR}$，再結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得b²=5．則橢圓方程可求．

解答 （1）證明：由橢圓方程C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）得M、N的坐標為M（a，0），N（0，b），
則$\overrightarrow{MN}=（-a，b）$，
又過橢圓左焦點F作直線l垂直x軸，設(shè)直線l方程：x=-c，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得P（-c，$\frac{^{2}}{a}$），∴$\overrightarrow{OP}$=（-c，$\frac{^{2}}{a}$），
由$\overrightarrow{MN}$=λ$\overrightarrow{OP}$，得$-a×\frac{^{2}}{a}-b×（-c）=0$，化簡得b=c，
由a²=b²+c²，得a=$\sqrt$；
（2）解：由（1），橢圓方程可設(shè)為x²+2y²=2b²，
∵弦AB經(jīng)過點E（2，0），并與坐標軸不垂直，
∴設(shè)直線AB：y=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2^{2}}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2b²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}-2^{2}}{1+2{k}^{2}}$． ①
點A關(guān)于x軸的對稱點為A₁，∴A₁（x₁，-y₁），
由A₁、B、R共線得$\overrightarrow{{A}_{1}R}∥\overrightarrow{BR}$，又$\overrightarrow{{A}_{1}R}=（5-{x}_{1}，{y}_{1}），\overrightarrow{BR}=（5-{x}_{2}，-{y}_{2}）$，
∴（5-x₁）（-y₂）-y₁（5-x₂）=0，
化簡得2x₁x₂+20=7（x₁+x₂）．②
將①式代入②中得$2•\frac{8{k}^{2}-2^{2}}{1+2{k}^{2}}+20=7•\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
解得b²=5．
橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓方程的求法，訓練了直線和圓錐曲線位置關(guān)系的應用，涉及直線和圓錐曲線關(guān)系問題，常聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系解題，該題（2）采用向量求解簡化了運算量，該題是壓軸題．