Question

已知曲線C的極坐標方程為ρ=2，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，P是曲線C上的動點，點A（2，0），M是線段AP的中點．
（Ⅰ）求點M軌跡的直角坐標方程；
（Ⅱ）求證點M到點E（

3

2

，0）、F（3、0）的距離之比是常數(shù)．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）由曲線C的極坐標方程為ρ=2，可得直角坐標方程x²+y²=4．可設(shè)曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=2sinθ

，設(shè)P（2cosθ，2sinθ），M（x，y）再利用中點坐標公式即可得出．
（II）利用兩點間的距離公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由曲線C的極坐標方程為ρ=2，可得

x2+y2

=2，即x²+y²=4．
可設(shè)曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=2sinθ

，
設(shè)P（2cosθ，2sinθ），M（x，y）
則

x= 2cosθ+2 2 =cosθ+1 y= 2sinθ 2 =sinθ

，
消去θ可得點M的軌跡方程為：（x-1）²+y²=1（x≠2）；
（Ⅱ）設(shè)M（cosθ+1，sinθ），
則

|ME|

|MF|

=

(cosθ+1- 3 2 )2+sin2θ

(cosθ+1-3)2+sin2θ

=

5 4 -cosθ

5-4cosθ

=

1

2

．

點評：本題綜合考查了圓的極坐標方程、直角坐標方程、參數(shù)方程及中點坐標、兩點間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．