Question

(1)已知數列{c_n}，c_n=2ⁿ+3ⁿ且數列{c_n+1-pc_n}為等比數列，求常數p;

(2)設{a_n}、{b_n}是公比不相等的兩個等比數列，c_n=a_n+b_n,證明{c_n}不是等比數列.

Answer 1

(1)解：設d_n=c_n+1-pc_n,則d₁=13-5p,d₂=35-13p,d₃=97-35p.已知{d_n}是等比數列，故d₂²=d₁d₃,解得p=2或p=3.當p=2時，d_n=c_n+1-pc_n=(2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹)-2(2ⁿ+3ⁿ)=3ⁿ，=3,所以{d_n}為等比數列.當p=3時，同理d_n=2ⁿ,=2,所以{d_n}為等比數列.

    所以p=2或p=3.

(2)證明：設{a_n}、{b_n}的公比分別為p、q，p≠q,c_n=a_n+b_n.

    事實上,=(a₁p+b₁q)²=a²₁p²+b²₁q²+2a₁b₁pq,

c₁c₃=(a₁+b₁)(a₁p²+b₁q²)=a²₁p²+b²₁q²+a₁b₁(p²+q²).

    若=c₁c₃,則p²+q²=2pq，(p-q)²=0,

∴p=q,與p≠q矛盾.

∴≠c₁c₃.

∴{c_n}不是等比數列.