求證：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．

 

【答案】

利用數(shù)學(xué)歸納法來證明與自然數(shù)相關(guān)的命題，分為兩步來進行。

【解析】

試題分析：證明：�、�n＝1時，左邊＝12－22＝－3，右邊＝－3，等式成立．

②假設(shè)n＝k時，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.

當(dāng)n＝k＋1時，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1時，等式也成立．

由①②得，等式對任何n∈N*都成立．

考點：數(shù)學(xué)歸納法

點評：主要是考查了數(shù)學(xué)歸納法的運用，分為兩步驟來進行，屬于基礎(chǔ)題。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ln（x+1）-ax．（a∈R）
（1）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時，求f（x）在定義域上的最大值；
（3）求證：
12+1+1
12+1
•
22+2+1
22+2
•
33+3+1
32+3
…
n2+n+1
n2+n
＜e．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）在定義域上的最大值；
（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范圍；
（3）求證：
12+1+1
12+1
•
22+2+1
22+2
•
32+3+1
32+3
•…•
n2+n+1
n2+n
＜e．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•合肥二模）已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長為4，且過點（
3
，
1
2
）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B，M是橢圓上的三點．若
OM
=
3
5
OA
+
4
5
OB
，點N為線段AB的中點，C（-
6
2
，0），D（
6
2
，0），求證：|NC|+|ND|=2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）在定義域上的最大值；
（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范圍；
（3）求證：
12+1+1
12+1
•
22+2+1
22+2
•
32+3+1
32+3
•…•
n2+n+1
n2+n
＜e．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長為4，且過點（
3
，
1
2
）．
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)A，B，M是橢圓上的三點．若
OM
=
3
5
OA
+
4
5
OB
，點N為線段AB的中點，C（-
6
2
，0），D（
6
2
，0），求證：|NC|+|ND|=2
2
．

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