已知f（x）=ln（x+1）-ax．（a∈R）
（1）求y=f（x）的單調區(qū)間；
（2）當a=1時，求f（x）在定義域上的最大值；
（3）求證：
12+1+1
12+1
•
22+2+1
22+2
•
33+3+1
32+3
…
n2+n+1
n2+n
＜e．
分析：解：（1）先確定定義域，再用導數(shù)法求單調區(qū)間；要注意a的討論，
（2）當a=1時，f（x）=ln（x+1）-x，由（1）可知f（x）在（-1，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減，從而求得其最大值．
（3）對
12+1+1
12+1
•
22+2+1
22+2
•
33+3+1
32+3
…
n2+n+1
n2+n
＜e兩邊取對數(shù)，將問題轉化為證明ln
12+1+1
12+1
+ln
22+2+1
22+2
+ln
32+3+1
32+3
++ln
n2+n+1
n2+n
＜1，由（x）=ln（x+1）-x≤0得證．
解答：解：（Ⅰ）定義域為{x|x＞-1}，f′(x)=
1
x+1
-a（1分）
①當a=0時，∵f′(x)=
1
x+1
＞0，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（-1，+∞）（2分）
②當a＜0時，
∵f′(x)=
1
x+1
-a＞0
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（-1，+∞）（3分）
③當a＞0時，由f′（x）＞0，則x＜
1
a
-1，
所以f（x）的單調遞增區(qū)間為(-1，
1-a
a
)，
由f′（x）＜0，則x＞
1
a
-1，
所以f（x）的單調遞減區(qū)間為(
1-a
a
，+∞)（4分）
（Ⅱ）當a=1時，f（x）=ln（x+1）-x，
由（Ⅰ）可知f（x）在（-1，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減，
所以精英家教網（5分）
由表可知f（x）的最大值為f（0）=0（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知f（x）=ln（x+1）-x≤0（*）
兩邊取對數(shù)可知ln
12+1+1
12+1
•
22+2+1
22+2
•
32+3+1
32+3
n2+n+1
n2+n
＜1
即證ln
12+1+1
12+1
+ln
22+2+1
22+2
+ln
32+3+1
32+3
++ln
n2+n+1
n2+n
＜1
又ln
k2+k+1
k2+k
=ln(1+
1
k2+k
)由（*）式可知當x≠0時，ln（1+x）＜x（9分）
∴ln(1+
1
k2+k
)＜
1
k2+k
=
1
k(k+1)
=
1
k
-
1
k+1

∴ln(
12+1+1
12+1
)+ln(
22+2+1
22+2
)+ln(
32+3+1
32+3
)++ln
n2+n+1
n2+n
＜
1
12+1
+
1
22+2
+
1
32+3
++
1
n2+n

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
++
1
n
-
1
n+1
=1-
1
n+1
＜1（12分）
∴原不等式得證
點評：本題主要考查導數(shù)法求單調區(qū)間，求函數(shù)最值，同時提醒學生在綜合題中已證結論可以用到下一問題去解決問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=ln（1+x）-
x1+ax
（a＞0）．
（I） 若f（x）在（0，+∞）內為單調增函數(shù)，求a的取值范圍；
（II） 若函數(shù)f（x）在x=O處取得極小值，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果函數(shù)f（x）在區(qū)間D上有定義，且對任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的“凹函數(shù)”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），判斷f（x）是否是“凹函數(shù)”，若是，請給出證明；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）對于（I）中的函數(shù)f（x）有下列性質：“若x∈[a，b]，則存在x0（a，b）使得
f(b)-f(a)
b-a
=f′（x0）”成立．利用這個性質證明x0唯一；
（Ⅲ）設A、B、C是函數(shù)f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）圖象上三個不同的點，求證：△ABC是鈍角三角形．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=ln（x+1）．
（1）若g(x)=
1
4
x2-x+f(x)，求g（x）在[0，2]上的最大值與最小值；
（2）當x＞0時，求證
1
1+x
＜f(
1
x
)＜
1
x
；
（3）當n∈N+且n≥2時，求證：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
＜f(n)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）
（1）當a=1時，求f（x）在定義域上的最大值；
（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范圍；
（3）求證：
12+1+1
12+1
•
22+2+1
22+2
•
32+3+1
32+3
•…•
n2+n+1
n2+n
＜e．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=ln（1+x）-
14
x2 是定義在[0，2]上的函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間
（2）若f（x）≥c對定義域內的x恒成立，求c的取值范圍．．

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