Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，在圓x²+y²=4上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足．當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡為C．
（1）求C的參數(shù)方程；
（2）直線l的參數(shù)方程為

x=1+ 2 2 t y=-1+ 2 2 t

（t為參數(shù)），點(diǎn)F（1，-1），已知l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求|AF|+|BF|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,軌跡方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）設(shè)C（x，y），則P（x，2y），代入圓P所在的方程可得：x²+4y²=4，化為

x2

4

+y2=1，取x=2cosθ，y=sinθ，即可得出曲線C的參數(shù)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程

x=1+ 2 2 t y=-1+ 2 2 t

（t為參數(shù)），代入曲線C的參數(shù)方程可得5t2-6

2

t+2=0，利用|AF|+|BF|=t₁+t₂即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)C（x，y），則P（x，2y），代入圓P所在的方程可得：x²+4y²=4，
化為

x2

4

+y2=1，取x=2cosθ，y=sinθ，
可得C的參數(shù)方程：

x=2cosθ y=sinθ

，θ為參數(shù)．
（2）把直線l的參數(shù)方程

x=1+ 2 2 t y=-1+ 2 2 t

（t為參數(shù)），代入曲線C的參數(shù)方程可得：(1+

2

2

t)2+4(-1+

2

2

t)2=4，
化為5t2-6

2

t+2=0，
∴|AF|+|BF|=t₁+t₂=

6 2

5

．

點(diǎn)評：本題考查了曲線的參數(shù)方程、中檔坐標(biāo)公式、參數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．